Theorem ubelsupr 41270

Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ubelsupr	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
3	2	ne0d 4301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2	sseldd 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
5		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈)
6		brralrspcev 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	4, 5, 6	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8	1, 3, 7	3jca 1124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
9		suprub 11596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
10	8, 2, 9	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
11		suprleub 11601	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
12	8, 4, 11	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
13	5, 12	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
14		suprcl 11595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	8, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	4, 15	letri3d 10776	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
17	10, 13, 16	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  supcsup 8898  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  cncmpmax  41282