MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubmelm1fzo 12604
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12548 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 nnz 11437 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nn0z 11438 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
63, 5zsubcld 11525 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
76ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8 peano2zm 11458 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
1093adant3 1101 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
124, 2anim12i 589 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13123adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 znnsub 11461 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1611, 15mpbid 222 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
17 nnm1ge0 11483 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
19 elnn0z 11428 . . . 4 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1)))
2010, 18, 19sylanbrc 699 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21 simp2 1082 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 nncn 11066 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11340 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26 1cnd 10094 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2723, 25, 26subsub4d 10461 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28 nn0p1gt0 11360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
31 peano2re 10247 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33 nnre 11065 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 ltsubpos 10558 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3532, 33, 34syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3629, 35mpbid 222 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
3727, 36eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
38373adant3 1101 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
39 elfzo0 12548 . . 3 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁))
4020, 21, 38, 39syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
411, 40sylbi 207 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  repswrevw  13579  cshwidxm1  13599  pwdif  41826
  Copyright terms: Public domain W3C validator