MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubthlem3 27958
Description: Lemma for ubth 27959. Prove the reverse implication, using nmblolbi 27885. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
Assertion
Ref Expression
ubthlem3 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6303 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢𝑧) = (𝑡𝑧))
21fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑧)))
32breq1d 4770 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑))
43cbvralv 3274 . . . . . . 7 (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑)
5 breq2 4764 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
65ralbidv 3088 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
74, 6syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
87cbvrexv 3275 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐)
9 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡𝑧) = (𝑡𝑥))
109fveq2d 6308 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑥)))
1110breq1d 4770 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
1211rexralbidv 3160 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
138, 12syl5bb 272 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
1413cbvralv 3274 . . 3 (∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
15 ubth.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16 ubth.2 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑊)
17 ubthlem.3 . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
18 ubthlem.4 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
19 ubthlem.5 . . . . . 6 𝑈 ∈ CBan
20 ubthlem.6 . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
21 ubthlem.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
23 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑)
2423, 14sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
25 fveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢𝑑) = (𝑡𝑑))
2625fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢𝑑)) = (𝑁‘(𝑡𝑑)))
2726breq1d 4770 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚))
2827cbvralv 3274 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚)
29 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑧 → (𝑡𝑑) = (𝑡𝑧))
3029fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡𝑑)) = (𝑁‘(𝑡𝑧)))
3130breq1d 4770 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3231ralbidv 3088 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3328, 32syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3433cbvrabv 3303 . . . . . . . 8 {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚}
35 breq2 4764 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘))
3635ralbidv 3088 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘))
3736rabbidv 3293 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
3834, 37syl5eq 2770 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
3938cbvmptv 4858 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
4015, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 39ubthlem1 27956 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
4121ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
4224ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
43 simplrl 819 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
44 simplrr 820 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦𝑋)
45 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
46 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
4715, 16, 17, 18, 19, 20, 41, 42, 39, 43, 44, 45, 46ubthlem2 27957 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
4847expr 644 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
4948rexlimdva 3133 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5049rexlimdvva 3140 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5140, 50mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
5251ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5314, 52syl5bir 233 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
54 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
55 bnnv 27952 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5619, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
57 eqid 2724 . . . . . . . 8 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5815, 57nvcl 27746 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5956, 58mpan 708 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
60 remulcl 10134 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
6154, 59, 60syl2an 495 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
6221sselda 3709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
6362adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
6463ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
65 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
66 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
6715, 65, 66blof 27870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
6856, 20, 67mp3an12 1527 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
70 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥𝑋)
7169, 70ffvelrnd 6475 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
7265, 16nvcl 27746 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
7320, 72mpan 708 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
7471, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
75 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
7615, 65, 75nmoxr 27851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
7756, 20, 76mp3an12 1527 . . . . . . . . . . 11 (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
7869, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
79 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
8015, 65, 75nmogtmnf 27855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
8156, 20, 80mp3an12 1527 . . . . . . . . . . 11 (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
8269, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
83 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
84 xrre 12114 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
8578, 79, 82, 83, 84syl22anc 1440 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
8659ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
87 remulcl 10134 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
8885, 86, 87syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
8961adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9015, 57, 16, 75, 66, 56, 20nmblolbi 27885 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9164, 70, 90syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9215, 57nvge0 27758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))
9356, 92mpan 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 → 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))
9459, 93jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9594ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥)))
96 lemul1a 10990 . . . . . . . . 9 (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9785, 79, 95, 83, 96syl31anc 1442 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9874, 88, 89, 91, 97letrd 10307 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9998expr 644 . . . . . 6 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑡𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
10099ralimdva 3064 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
101 breq2 4764 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
102101ralbidv 3088 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
103102rspcev 3413 . . . . 5 (((𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
10461, 100, 103syl6an 569 . . . 4 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
105104ralrimdva 3071 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
106105rexlimdva 3133 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
10753, 106impbid 202 1 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  wss 3680   class class class wbr 4760  cmpt 4837  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054  -∞cmnf 10185  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cn 11133  +crp 11946  MetOpencmopn 19859  NrmCVeccnv 27669  BaseSetcba 27671  normCVcnmcv 27675  IndMetcims 27676   normOpOLD cnmoo 27826   BLnOp cblo 27827  CBanccbn 27948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-dc 9381  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ico 12295  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-rest 16206  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-lm 21156  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-cfil 23174  df-cau 23175  df-cmet 23176  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-lno 27829  df-nmoo 27830  df-blo 27831  df-0o 27832  df-cbn 27949
This theorem is referenced by:  ubth  27959
  Copyright terms: Public domain W3C validator