MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix 21772
Description: Lemma for fixufil 21773 and uffixfr 21774. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4371 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
21adantl 481 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
3 snnzg 4339 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
43adantl 481 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ≠ ∅)
5 simpl 472 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝑋𝑉)
6 snfbas 21717 . . 3 (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
72, 4, 5, 6syl3anc 1366 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
8 selpw 4198 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋))
10 snex 4938 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
1110snid 4241 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
12 snssi 4371 . . . . . . 7 (𝐴𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
13 sseq1 3659 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴} → (𝑥𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
1413rspcev 3340 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
1511, 12, 14sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
16 intss1 4524 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
17 sstr2 3643 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
19 snidg 4239 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
2019adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
2110intsn 4545 . . . . . . . . . 10 {{𝐴}} = {𝐴}
2220, 21syl6eleqr 2741 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 {{𝐴}})
23 ssel 3630 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 {{𝐴}} → 𝐴𝑦))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦𝐴𝑦))
2518, 24sylan9r 691 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥𝑦𝐴𝑦))
2625rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦𝐴𝑦))
2715, 26impbid2 216 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦))
289, 27anbi12d 747 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
29 eleq2 2719 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥𝐴𝑦))
3029elrab 3396 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦))
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦)))
32 elfg 21722 . . . . 5 ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
337, 32syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
3428, 31, 333bitr4d 300 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
3534eqrdv 2649 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
367, 35jca 553 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cint 4507  cfv 5926  (class class class)co 6690  fBascfbas 19782  filGencfg 19783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697
This theorem is referenced by:  fixufil  21773  uffixfr  21774
  Copyright terms: Public domain W3C validator