MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufldom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufldom 21676
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7913 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋 ↔ ∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋)))
2 bren 7908 . . . . . . . 8 (𝑌𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
32biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑌𝑥 → ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
4 ssufl 21632 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ UFL)
5 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑥 ∈ UFL)
6 filfbas 21562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
76adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
8 f1of 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑌𝑥)
98ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓:𝑌𝑥)
10 fmfil 21658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓:𝑌𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
115, 7, 9, 10syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
12 ufli 21628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ UFL ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
135, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
14 f1odm 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝑌)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → dom 𝑓 = 𝑌)
16 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1716dmex 7046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑓 ∈ V
1815, 17syl6eqelr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
20 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥))
21 f1ocnv 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
2221ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
23 f1of 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑌𝑓:𝑥𝑌)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥𝑌)
25 fmufil 21673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ 𝑓:𝑥𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
2619, 20, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
27 f1ococnv1 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2827ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2928oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑌 FilMap (𝑓𝑓)) = (𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌)))
3029fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔))
315adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ∈ UFL)
327adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
338ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑌𝑥)
34 fmco 21675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑌 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌𝑓:𝑌𝑥)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
36 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
37 fmid 21674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3930, 35, 383eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) = 𝑔)
4011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
41 filfbas 21562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
43 ufilfil 21618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (Fil‘𝑥))
44 filfbas 21562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Fil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
46 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
47 fmss 21660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌 ∈ V ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌 ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4939, 48eqsstr3d 3619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
50 sseq2 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) → (𝑔𝑢𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)))
5150rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5226, 49, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5313, 52rexlimddv 3028 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5453ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
55 isufl 21627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5754, 56mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
5857ex 450 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
5958exlimiv 1855 . . . . . . . 8 (∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
6059imp 445 . . . . . . 7 ((∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
613, 4, 60syl2an 494 . . . . . 6 ((𝑌𝑥 ∧ (𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6261an12s 842 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑌𝑥𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6362ex 450 . . . 4 (𝑋 ∈ UFL → ((𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
6463exlimdv 1858 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
651, 64sylbid 230 . 2 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋𝑌 ∈ UFL))
6665imp 445 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613   I cid 4984  ccnv 5073  dom cdm 5074  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cen 7896  cdom 7897  fBascfbas 19653  Filcfil 21559  UFilcufil 21613  UFLcufl 21614   FilMap cfm 21647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-fi 8261  df-rest 16004  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-fil 21560  df-ufil 21615  df-ufl 21616  df-fm 21652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator