Theorem uhgr0 26861

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6563	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5793	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4748	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 4098	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4333	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2847	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6511	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5214	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 26827	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2833	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 26828	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2833	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 26848	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 233	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542  {csn 4570  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  Vtxcvtx 26784  iEdgciedg 26785  UHGraphcuhgr 26844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-slot 16490  df-base 16492  df-edgf 26778  df-vtx 26786  df-iedg 26787  df-uhgr 26846

This theorem is referenced by: (None)