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Theorem ulmcaulem 24347
Description: Lemma for ulmcau 24348 and ulmcau2 24349: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 14294. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
21ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
32rexralbidv 3196 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
43cbvralv 3310 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤)
5 rphalfcl 12051 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
76ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
87rexralbidv 3196 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
98rspcv 3445 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1110adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
12 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1312fveq1d 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1413oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)) = (((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)))
1514fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
1615breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1716ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1817cbvralv 3310 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
1918biimpi 206 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
20 uzss 11900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
2120ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
22 ssralv 3807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
24 r19.26 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2726ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑍 = (ℤ𝑀)
2928uztrn2 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3029adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3128uztrn2 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3230, 31sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3327, 32ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
34 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ)
3726ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
3837ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
39 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4140ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
4236, 41abssubd 14391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
4342breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
4443biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
45 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4626, 29, 45syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4746anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
49 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5150ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
52 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5352ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
5453ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 abs3lem 14277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5744, 56sylan2d 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5857ralimdva 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5924, 58syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6059expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6160an32s 881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6261ralimdva 3100 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6323, 62syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6463impancom 455 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6564an32s 881 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6665ralimdva 3100 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6766ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6867com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6919, 68mpdi 45 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7069reximdva 3155 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7111, 70syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7271ralrimdva 3107 . . 3 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
734, 72syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
74 eluzelz 11889 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
7574, 28eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
76 uzid 11894 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7877adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
79 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
80 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8180fveq1d 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
8281oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
8382fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8483breq1d 4814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8584ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8679, 85raleqbidv 3291 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8786rspcv 3445 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8878, 87syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
89 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
9089fveq1d 6354 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
9190oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
9291fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))))
9392breq1d 4814 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9493ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9594cbvralv 3310 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥)
9625ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
9897, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
9998ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
10025, 29, 45syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
101100anassrs 683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
102101, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
103102ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
10499, 103abssubd 14391 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
105104breq1d 4814 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
106105ralbidva 3123 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
107106ralbidva 3123 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10895, 107syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10988, 108sylibd 229 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
110109reximdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
111110ralimdv 3101 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
11273, 111impbid 202 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cc 10126  cr 10127   < clt 10266  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  abscabs 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175
This theorem is referenced by:  ulmcau  24348  ulmcau2  24349
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