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Theorem ulmcn 23902
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
ulmcn.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmcn (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmcl 23884 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
4 ulmcn.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 ulmcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 ulmcn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
8 cncff 22452 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9 cnex 9874 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
10 cncfrss 22450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11 ssexg 4727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1210, 9, 11sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13 elmapg 7735 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
149, 12, 13sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
158, 14mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
1615ssriv 3571 . . . . . . 7 (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆)
17 fss 5955 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ) ∧ (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
187, 16, 17sylancl 692 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1918adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 eqidd 2610 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘𝑍𝑤𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑤))
21 eqidd 2610 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑤))
221adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
23 rphalfcl 11693 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2423ad2antll 760 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 11719 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 23889 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
274r19.2uz 13888 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28 simplrl 795 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑆)
29 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
30 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑥))
3129, 30oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
3231fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
3332breq1d 4587 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3433rspcv 3277 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3528, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
367adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
3736ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ))
3824adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39 cncfi 22453 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ) ∧ 𝑥𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4037, 28, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4140ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42 r19.26 3045 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
4319ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
44 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑘𝑍)
4543, 44ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
46 elmapi 7743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4828adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑥𝑆)
4947, 48ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
503ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5150, 48ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5249, 51subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5352abscld 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
54 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
5547, 54sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5750, 56sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) ∈ ℂ)
5958abscld 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ)
6038adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
6160rphalfcld 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63 lt2add 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6560rpred 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
6665recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67662halvesd 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
6867breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
6953, 59readdcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ)
7055, 49subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
7170abscld 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72 lt2add 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74 rpre 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
7574ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7675ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
7776recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78772halvesd 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
7978breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
8057, 51subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
8180abscld 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
8257, 49subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
8382abscld 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8453, 83readdcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8569, 71readdcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8657, 51, 49abs3difd 13996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))))
8783recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
8853recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
8987, 88addcomd 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9086, 89breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9159, 71readdcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
9257, 49, 55abs3difd 13996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9357, 55abssubd 13989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))))
9493oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9592, 94breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9683, 91, 53, 95leadd2dd 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
9759recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℂ)
9871recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
9988, 97, 98addassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
10096, 99breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
10181, 84, 85, 90, 100letrd 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
102 lelttr 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10381, 85, 76, 102syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
104101, 103mpand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10579, 104sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10673, 105syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
107106expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10868, 107sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10964, 108syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
110109expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
111110an32s 841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
112111imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
113112imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
114113expimpd 626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
115114ralimdva 2944 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
11642, 115syl5bir 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117116expdimp 451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
118117an32s 841 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
119118reximdv 2998 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
121120exp31 627 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
12235, 121mpdd 41 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
123122rexlimdva 3012 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12427, 123syl5 33 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12526, 124mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
126125ralrimivva 2953 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
127 uzid 11537 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1285, 127syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
129128, 4syl6eleqr 2698 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
1307, 129ffvelrnd 6253 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ))
131 cncfrss 22450 . . . 4 ((𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132130, 131syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
133 ssid 3586 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
134 elcncf2 22449 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
135132, 133, 134sylancl 692 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
1363, 126, 135mpbir2and 958 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cc 9791  cr 9792   + caddc 9796   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  2c2 10920  cz 11213  cuz 11522  +crp 11667  abscabs 13771  cnccncf 22435  𝑢culm 23879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-cncf 22437  df-ulm 23880
This theorem is referenced by:  psercn2  23926  knoppcn  31498
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