Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdm 24064
 Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression ((⇝𝑢‘𝑆)‘𝐹) is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function 𝐹"). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ulmdm (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ 𝐹(⇝𝑢𝑆)((⇝𝑢𝑆)‘𝐹))

Proof of Theorem ulmdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmrel 24049 . . 3 Rel (⇝𝑢𝑆)
2 ulmuni 24063 . . . . 5 ((𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑦𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
32ax-gen 1719 . . . 4 𝑧((𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑦𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
43gen2 1720 . . 3 𝑥𝑦𝑧((𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑦𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
5 dffun2 5862 . . 3 (Fun (⇝𝑢𝑆) ↔ (Rel (⇝𝑢𝑆) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑦𝑥(⇝𝑢𝑆)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
61, 4, 5mpbir2an 954 . 2 Fun (⇝𝑢𝑆)
7 funfvbrb 6291 . 2 (Fun (⇝𝑢𝑆) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ 𝐹(⇝𝑢𝑆)((⇝𝑢𝑆)‘𝐹)))
86, 7ax-mp 5 1 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ 𝐹(⇝𝑢𝑆)((⇝𝑢𝑆)‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1478   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Rel wrel 5084  Fun wfun 5846  ‘cfv 5852  ⇝𝑢culm 24047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-ulm 24048 This theorem is referenced by:  lgamgulm2  24675
 Copyright terms: Public domain W3C validator