Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdv 24056
 Description: If 𝐹 is a sequence of differentiable functions on 𝑋 which converge pointwise to 𝐺, and the derivatives of 𝐹(𝑛) converge uniformly to 𝐻, then 𝐺 is differentiable with derivative 𝐻. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvfg 23571 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
4 recnprss 23569 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 11646 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10syl6eleqr 2715 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 24054 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
16 dvbsss 23567 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ 𝑆
1715, 16syl6eqssr 3640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋𝑆)
1817ralrimiva 2965 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋𝑆)
19 biidd 252 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋𝑆𝑋𝑆))
2019rspcv 3296 . . . . . . . 8 (𝑀𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝑋𝑆𝑋𝑆))
2111, 18, 20sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
225, 6, 21dvbss 23566 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) ⊆ 𝑋)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 24055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
24 vex 3194 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
25 fvex 6160 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑧) ∈ V
2624, 25breldm 5294 . . . . . . . . 9 (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2723, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2827ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑋𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)))
2928ssrdv 3594 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D 𝐺))
3022, 29eqssd 3605 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
3130feq2d 5990 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
323, 31mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
33 ffn 6004 . . 3 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
3432, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
35 ulmcl 24034 . . . 4 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
3614, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
37 ffn 6004 . . 3 (𝐻:𝑋⟶ℂ → 𝐻 Fn 𝑋)
3836, 37syl 17 . 2 (𝜑𝐻 Fn 𝑋)
39 ffun 6007 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
403, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑆 D 𝐺))
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funbrfv 6192 . . 3 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧)))
4341, 23, 42sylc 65 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧))
4434, 38, 43eqfnfvd 6271 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ⊆ wss 3560  {cpr 4155   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  ℂcc 9879  ℝcr 9880  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631   ⇝ cli 14144   D cdv 23528  ⇝𝑢culm 24029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-ulm 24030 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24081
 Copyright terms: Public domain W3C validator