MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmpm 24036
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmpm (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))

Proof of Theorem ulmpm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmf 24035 . 2 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2 uzssz 11651 . . . 4 (ℤ𝑛) ⊆ ℤ
3 ovex 6633 . . . . 5 (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
4 zex 11331 . . . . 5 ℤ ∈ V
5 elpm2r 7820 . . . . 5 ((((ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V ∧ ℤ ∈ V) ∧ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ𝑛) ⊆ ℤ)) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
63, 4, 5mpanl12 717 . . . 4 ((𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ𝑛) ⊆ ℤ) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
72, 6mpan2 706 . . 3 (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
87rexlimivw 3027 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
91, 8syl 17 1 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  wrex 2913  Vcvv 3191  wss 3560   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  pm cpm 7804  cc 9879  cz 11322  cuz 11631  𝑢culm 24029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-map 7805  df-pm 7806  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632  df-ulm 24030
This theorem is referenced by:  ulmf2  24037
  Copyright terms: Public domain W3C validator