MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshftlem 24060
Description: Lemma for ulmshft 24061. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
54ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6 eqidd 2622 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
7 eqidd 2622 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
8 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
9 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 24057 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
1211, 1syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1413ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15 eluzadd 11667 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
1612, 14, 15syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
1816, 17syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19 eluzelz 11648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
2213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
2322ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾)))
25 eluzsub 11668 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖))
27 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
2827fveq1d 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘𝐾) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧))
2928oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧)))
3029fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
3130breq1d 4628 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘𝐾) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3231ralbidv 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3332rspcv 3294 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3426, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3534ralrimdva 2964 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
36 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑖 + 𝐾)))
3736raleqdv 3136 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3837rspcev 3298 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
3918, 35, 38syl6an 567 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
4039rexlimdva 3025 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
4110, 40mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
4241ralrimiva 2961 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
432, 13zaddcld 11437 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4443adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
454adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
462adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
4713adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
4948, 17syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
50 eluzsub 11668 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5251, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
5345, 52ffvelrnd 6321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
54 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
5553, 54fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
56 ulmshft.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
5756feq1d 5992 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
5855, 57mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
5958adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6056ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
6160fveq1d 6155 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (𝐻𝑘) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘))
62 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐾) = (𝑘𝐾))
6362fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
64 fvex 6163 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑘𝐾)) ∈ V
6563, 54, 64fvmpt 6244 . . . . . . 7 (𝑘𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6665ad2antrl 763 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6761, 66eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6867fveq1d 6155 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝐻𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧))
69 eqidd 2622 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
70 ulmcl 24052 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
7170adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
72 ulmscl 24050 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
7372adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 24056 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
7542, 74mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7675ex 450 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  cc 9885   + caddc 9890   < clt 10025  cmin 10217  cz 11328  cuz 11638  +crp 11783  abscabs 13915  𝑢culm 24047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-ulm 24048
This theorem is referenced by:  ulmshft  24061
  Copyright terms: Public domain W3C validator