Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmuni 24191
 Description: An sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ulmuni ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcl 24180 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
21adantr 480 . . 3 ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3 ffn 6083 . . 3 (𝐺:𝑆⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑆)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
5 ulmcl 24180 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻𝐻:𝑆⟶ℂ)
65adantl 481 . . 3 ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
7 ffn 6083 . . 3 (𝐻:𝑆⟶ℂ → 𝐻 Fn 𝑆)
86, 7syl 17 . 2 ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
9 eqid 2651 . . . . 5 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
10 simplr 807 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
11 simpr 476 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
12 simpllr 815 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝑥𝑆)
13 fvex 6239 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ∈ V
1413mptex 6527 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
16 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
1716fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖)‘𝑥) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
18 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))
19 fvex 6239 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
2120eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
2221adantl 481 . . . . 5 ((((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
23 simp-4l 823 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
249, 10, 11, 12, 15, 22, 23ulmclm 24186 . . . 4 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
25 simp-4r 824 . . . . 5 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻)
269, 10, 11, 12, 15, 22, 25ulmclm 24186 . . . 4 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻𝑥))
27 climuni 14327 . . . 4 (((𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻𝑥)) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
2824, 26, 27syl2anc 694 . . 3 (((((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
29 ulmf 24181 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
3029ad2antrr 762 . . 3 (((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
3128, 30r19.29a 3107 . 2 (((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
324, 8, 31eqfnfvd 6354 1 ((𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259  ⇝𝑢culm 24175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-ulm 24176 This theorem is referenced by:  ulmdm  24192
 Copyright terms: Public domain W3C validator