Theorem umgr2adedgwlk 27726

Description: In a multigraph, two adjacent edges form a walk of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgwlk	⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 27725	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3991	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 4022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3991	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 4022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20	2wlkd 27717	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
22	2	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
23		s2len 14253	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
24	22, 23	eqtri 2846	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 2)
26		s3fv0 14255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27		s3fv1 14256	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
28		s3fv2 14257	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
29	26, 27, 28	3anim123i 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
31	1	fveq1i 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
32	31	eqeq2i 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
33		eqcom 2830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
34	32, 33	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
35	1	fveq1i 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)
36	35	eqeq2i 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
37		eqcom 2830	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
38	36, 37	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
39	1	fveq1i 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
40	39	eqeq2i 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
41		eqcom 2830	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
42	40, 41	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
43	34, 38, 42	3anbi123i 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
44	30, 43	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)))
45	21, 25, 44	3jca 1124	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ⊆ wss 3938  {cpr 4571   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  0cc0 10539  1c1 10540  2c2 11695  ♯chash 13693  ⟨“cs2 14205  ⟨“cs3 14206  Vtxcvtx 26783  iEdgciedg 26784  Edgcedg 26834  UMGraphcumgr 26868  Walkscwlks 27380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-edg 26835  df-umgr 26870  df-wlks 27383

This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlkonALT  27728  umgr2wlk  27730