Theorem umgr2adedgwlklem 27064

Description: Lemma for umgr2adedgwlk 27065, umgr2adedgspth 27068, etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgwlklem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgredgne 26239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3	2	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	1	umgredgne 26239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐵 ≠ 𝐶)
5	4	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → 𝐵 ≠ 𝐶))
6	3, 5	anim12d 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))
7	6	3impib 1109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9	8, 1	umgrpredgv 26234	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
10	9	simpld 477	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	10	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
12	8, 1	umgrpredgv 26234	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
13	12	simpld 477	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	13	3adant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12	simprd 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	3adant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
17	11, 14, 16	3jca 1123	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18	7, 17	jca 555	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {cpr 4323  ‘cfv 6049  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  UMGraphcumgr 26175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-edg 26139  df-umgr 26177

This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlk  27065  umgr2adedgwlkon  27066  umgr2adedgwlkonALT  27067  umgr2adedgspth  27068  umgr2wlkon  27070