MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwk2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwk2dif 26807
Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwk2dif ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 26754 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 simpr 477 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ) → 𝐺 ∈ UMGraph )
5 uz2m1nn 11707 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6 lbfzo0 12448 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
75, 6sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
98adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
10 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 11076 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
1311, 12syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = 1)
1413fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
159, 14preq12d 4246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
1615eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
177, 16rspcdv 3298 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19183ad2ant2 1081 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2019imp 445 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2120adantr 481 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
222umgredgne 25933 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊‘1))
2322necomd 2845 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
244, 21, 23syl2anc 692 . . . 4 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
2524exp31 629 . . 3 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
263, 25syl 17 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
27263imp31 1255 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  cuz 11631  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   UMGraph cumgr 25872   ClWWalksN cclwwlksn 26743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-edg 25840  df-umgr 25874  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745
This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  26808
  Copyright terms: Public domain W3C validator