Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwk2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwk2dif 27195
 Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwk2dif ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 27165 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 simpr 479 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
5 uz2m1nn 11956 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6 lbfzo0 12702 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
75, 6sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
98adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
10 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 11324 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
1311, 12syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = 1)
1413fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
159, 14preq12d 4420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
1615eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
177, 16rspcdv 3452 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19183ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2019imp 444 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2120adantr 472 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
222umgredgne 26239 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊‘1))
2322necomd 2987 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
244, 21, 23syl2anc 696 . . . 4 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
2524exp31 631 . . 3 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
263, 25syl 17 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
27263imp31 1104 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {cpr 4323  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   − cmin 10458  ℕcn 11212  2c2 11262  ℤ≥cuz 11879  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  UMGraphcumgr 26175   ClWWalksN cclwwlkn 27147 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-edg 26139  df-umgr 26177  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149 This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  27196
 Copyright terms: Public domain W3C validator