MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgra1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgra1 25649
Description: The graph with one edge. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Proof of Theorem umgra1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 787 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑋)
2 prex 4831 . . . . . 6 {𝐵, 𝐶} ∈ V
3 f1osng 6074 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
41, 2, 3sylancl 692 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
5 f1of 6035 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}} → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
7 prssi 4292 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
87adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
92elpw 4113 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
108, 9sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
11 prnzg 4253 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
1211ad2antrl 759 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
13 eldifsn 4259 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
1410, 12, 13sylanbrc 694 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
15 hashprlei 13062 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
1615simpri 476 . . . . . . 7 (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
18 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1918breq1d 4587 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2019elrab 3330 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2114, 17, 20sylanbrc 694 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
2221snssd 4280 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
236, 22fssd 5956 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
24 fdm 5950 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2625feq2d 5930 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
2723, 26mpbird 245 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
28 simpll 785 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
29 snex 4830 . . 3 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
30 isumgra 25638 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3128, 29, 30sylancl 692 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3227, 31mpbird 245 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  {cpr 4126  cop 4130   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  Fincfn 7819  cle 9932  2c2 10920  #chash 12937   UMGrph cumg 25635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-hash 12938  df-umgra 25636
This theorem is referenced by:  eupap1  26297  eupath2lem3  26300  vdegp1ai  26305  vdegp1bi  26306
  Copyright terms: Public domain W3C validator