MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrclwwlksge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrclwwlksge2 26795
Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrclwwlksge2 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlksge2
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21clwwlkbp 26767 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
32adantl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4 lencl 13271 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
65adantl 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
7 hasheq0 13102 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
87bicomd 213 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (#‘𝑃) = 0))
98necon3bid 2834 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ≠ 0))
109biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (#‘𝑃) ≠ 0))
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (#‘𝑃) ≠ 0)))
12113imp 1254 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 0)
1312adantl 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 0)
14 clwwlks1loop 26791 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
1514expcom 451 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1817umgredgne 25950 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1)))
2016, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))
2120expcom 451 . . . . . . . . 9 ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1)))
2215, 21syl6 35 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))))
2322com23 86 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))))
2423imp4c 616 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1))
25 neqne 2798 . . . . . . 7 (¬ (#‘𝑃) = 1 → (#‘𝑃) ≠ 1)
2625a1d 25 . . . . . 6 (¬ (#‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1))
2724, 26pm2.61i 176 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1)
286, 13, 273jca 1240 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1))
293, 28mpdan 701 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1))
30 nn0n0n1ge2 11310 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (#‘𝑃))
3129, 30syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
3231ex 450 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (#‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  c0 3896  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5852  0cc0 9888  1c1 9889  cle 10027  2c2 11022  0cn0 11244  #chash 13065  Word cword 13238  Vtxcvtx 25791  Edgcedg 25856   UMGraph cumgr 25889  ClWWalkscclwwlks 26759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-edg 25857  df-umgr 25891  df-clwwlks 26761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator