Theorem umgredg 25923

Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem umgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2696	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgr 25920	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2))
4	2, 3	sylan2b 492	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2))
5		hash2prde 13187	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6		eleq1 2692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
7		prex 4875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ V
8	7	elpw 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
9		vex 3194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
10		vex 3194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
11	9, 10	prss 4324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
12		upgredg.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	12	sseq2i 3614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
14	11, 13	sylbbr 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
15	8, 14	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
16	6, 15	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
17	16	adantrd 484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
19	18	imdistanri 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
20	19	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
21	20	2eximdv 1850	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
22	5, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐶) = 2) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
23	4, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24		r2ex 3059	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
25	23, 24	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155  ‘cfv 5850  2c2 11015  #chash 13054  Vtxcvtx 25769  Edgcedg 25834   UMGraph cumgr 25867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055  df-edg 25835  df-umgr 25869

This theorem is referenced by:  usgredg  25978