Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrun 25996
 Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrun.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph )
umgrun.h (𝜑𝐻 ∈ UMGraph )
umgrun.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u (𝜑𝑈𝑊)
umgrun.v (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
Assertion
Ref Expression
umgrun (𝜑𝑈 ∈ UMGraph )

Proof of Theorem umgrun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrun.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph )
2 umgrun.vg . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrun.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3umgrf 25974 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
6 umgrun.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ UMGraph )
7 eqid 2620 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8 umgrun.f . . . . . . 7 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
97, 8umgrf 25974 . . . . . 6 (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11 umgrun.vh . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1211eqcomd 2626 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Vtx‘𝐻))
1312pweqd 4154 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
1413rabeqdv 3189 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2})
1514feq3d 6019 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
1610, 15mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
17 umgrun.i . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
185, 16, 17fun2d 6055 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
19 umgrun.un . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
2019dmeqd 5315 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸𝐹))
21 dmun 5320 . . . . 5 dom (𝐸𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
2220, 21syl6eq 2670 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23 umgrun.v . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
2423pweqd 4154 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
2524rabeqdv 3189 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
2619, 22, 25feq123d 6021 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2718, 26mpbird 247 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2})
28 umgrun.u . . 3 (𝜑𝑈𝑊)
29 eqid 2620 . . . 4 (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30 eqid 2620 . . . 4 (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
3129, 30isumgrs 25972 . . 3 (𝑈𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
3228, 31syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
3327, 32mpbird 247 1 (𝜑𝑈 ∈ UMGraph )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {crab 2913   ∪ cun 3565   ∩ cin 3566  ∅c0 3907  𝒫 cpw 4149  dom cdm 5104  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  2c2 11055  #chash 13100  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856   UMGraph cumgr 25957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101  df-umgr 25959 This theorem is referenced by:  umgrunop  25997  usgrun  26063
 Copyright terms: Public domain W3C validator