Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2 32141
Description: Variant of unbdqndv1 32138 with the hypothesis that (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) is unbounded where 𝑥𝐴 and 𝐴𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2
Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
2 ax-resscn 9937 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4 unbdqndv2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6 unbdqndv2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 breq1 4616 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
983anbi3d 1402 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
109rexbidv 3045 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1110rexbidv 3045 . . . . . . . 8 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1211ralbidv 2980 . . . . . . 7 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
13 unbdqndv2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
1413ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
15 2rp 11781 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1816, 17rpmulcld 11832 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
1912, 14, 18rspcdva 3301 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
20 simprr 795 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21 rsp 2924 . . . . . 6 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
2219, 20, 21sylc 65 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
23 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)
245ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
257ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
263, 7, 5dvbss 23571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
2826, 27sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴𝑋)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐴𝑋)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑋)
3217ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
3320ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑋)
35 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑦𝑋)
36 simpr2r 1119 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑦)
37 simpr1l 1116 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝐴)
38 simpr1r 1117 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑦)
39 simpr2l 1118 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (𝑦𝑥) < 𝑑)
40 simpr3 1067 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))
411, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40unbdqndv2lem2 32140 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
4241simpld 475 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑤𝐴) = (if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴))
4443fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
4544breq1d 4623 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
46 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))
4746fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
4847breq2d 4625 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
4945, 48anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
5049adantl 482 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
5141simprd 479 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
5242, 50, 51rspcedvd 3302 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5352ex 450 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5453rexlimdvva 3031 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5522, 54mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5655ralrimivva 2965 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
571, 3, 5, 7, 56unbdqndv1 32138 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5857pm2.01da 458 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776  abscabs 13908   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  knoppndv  32164
  Copyright terms: Public domain W3C validator