Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2 32779
Description: Variant of unbdqndv1 32776 with the hypothesis that (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) is unbounded where 𝑥𝐴 and 𝐴𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2
Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
2 ax-resscn 10156 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4 unbdqndv2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
54adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6 unbdqndv2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 breq1 4795 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
983anbi3d 1542 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
109rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1110rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1211ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
13 unbdqndv2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
1413ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
15 2rp 12001 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1816, 17rpmulcld 12052 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
1912, 14, 18rspcdva 3443 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
20 simprr 813 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21 rsp 3055 . . . . . 6 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
2219, 20, 21sylc 65 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
23 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)
245ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
257ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
263, 7, 5dvbss 23835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
2826, 27sseldd 3733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴𝑋)
3029adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐴𝑋)
3130adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑋)
3217ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
3320ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34 simplrl 819 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑋)
35 simplrr 820 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑦𝑋)
36 simpr2r 1273 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑦)
37 simpr1l 1267 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝐴)
38 simpr1r 1269 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑦)
39 simpr2l 1271 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (𝑦𝑥) < 𝑑)
40 simpr3 1214 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))
411, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40unbdqndv2lem2 32778 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
4241simpld 477 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43 oveq1 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑤𝐴) = (if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴))
4443fveq2d 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
4544breq1d 4802 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
46 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))
4746fveq2d 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
4847breq2d 4804 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
4945, 48anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
5049adantl 473 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
5141simprd 482 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
5242, 50, 51rspcedvd 3444 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5352ex 449 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5453rexlimdvva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5522, 54mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5655ralrimivva 3097 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
571, 3, 5, 7, 56unbdqndv1 32776 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5857pm2.01da 457 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wrex 3039  cdif 3700  wss 3703  ifcif 4218  {csn 4309   class class class wbr 4792  cmpt 4869  dom cdm 5254  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429   / cdiv 10847  2c2 11233  +crp 11996  abscabs 14144   D cdv 23797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-fz 12491  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-rest 16256  df-topn 16257  df-topgen 16277  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-ntr 20997  df-cnp 21205  df-xms 22297  df-ms 22298  df-limc 23800  df-dv 23801
This theorem is referenced by:  knoppndv  32802
  Copyright terms: Public domain W3C validator