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Theorem unbdqndv2lem1 32139
Description: Lemma for unbdqndv2 32141. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1 (𝜑𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2 (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem1 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 unbdqndv2lem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10336 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4 unbdqndv2lem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 unbdqndv2lem1.1 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ 0)
63, 4, 5absdivd 14128 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)))
76adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)))
83abscld 14109 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
10 unbdqndv2lem1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
111, 10subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 14109 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
132, 10subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
1413abscld 14109 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 10013 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
17 2re 11034 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19 unbdqndv2lem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2118, 20remulcld 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
224abscld 14109 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
2321, 22remulcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
251, 2, 10abs3difd 14133 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))))
2610, 2abssubd 14126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
2726oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) = ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
2825, 27breqtrd 4639 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
3012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
3114adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3220, 22remulcld 10014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34 pm2.45 412 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3612, 32ltnled 10128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶))))
3736adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶))))
3835, 37mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39 pm2.46 413 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4039adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4114, 32ltnled 10128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4340, 42mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
4430, 31, 33, 33, 38, 43lt2addd 10594 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4532recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46452timesd 11219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4746eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4818recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4920recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
5022recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
5148, 49, 50mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
5251eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5347, 52eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5544, 54breqtrd 4639 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
569, 16, 24, 29, 55lelttrd 10139 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57 absgt0 13998 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
584, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
595, 58mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
6022, 59jca 554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
618, 21, 603jca 1240 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62 ltdivmul2 10844 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6463adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6556, 64mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
667, 65eqbrtrd 4635 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67 unbdqndv2lem1.2 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)))
683, 4, 5divcld 10745 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
6968abscld 14109 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
7021, 69lenltd 10127 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
7167, 70mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
7271adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
7366, 72condan 834 1 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776  abscabs 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  32140
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