unbdqndv2lem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem unbdqndv2lem2 32805

Description: Lemma for unbdqndv2 32806. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
unbdqndv2lem2.w	⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
unbdqndv2lem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
unbdqndv2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
unbdqndv2lem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
unbdqndv2lem2.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
unbdqndv2lem2.5	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))

**Assertion**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐴 𝑧,𝐵 𝑧,𝐹 𝑧,𝑈 𝑧,𝑉 𝑧,𝑋 𝜑,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑧) 𝐺(𝑧) 𝑊(𝑧)

**Proof of Theorem unbdqndv2lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
3		iftrue 4234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
4	3	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
5	2, 4	eqtrd 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑈)
6		unbdqndv2lem2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ 𝑋)
8		simplr 809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
9		fveq2 6350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑈))
11	10	oveq2d 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)))
12	11	fveq2d 6354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
13	12	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
14		unbdqndv2lem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
15	14, 6	ffvelrnd 6521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℂ)
16	15	subidd 10570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)) = 0)
17	16	fveq2d 6354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
18	17	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
19		abs0 14222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
21	18, 20	eqtrd 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = 0)
22	13, 21	eqtrd 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
23	22	adantlr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
24	8, 23	breqtrd 4828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
25		unbdqndv2lem2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
26	25	rpred 12063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27		unbdqndv2lem2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28		unbdqndv2lem2.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
29	27, 28	sseldd 3743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
30	27, 6	sseldd 3743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 10648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℝ)
32	25	rpgt0d 12066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
33		unbdqndv2lem2.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	27, 33	sseldd 3743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
35		unbdqndv2lem2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
36		unbdqndv2lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
37	30, 34, 29, 35, 36	letrd 10384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑉)
38		unbdqndv2lem2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	38	necomd 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
40	30, 29, 37, 39	leneltd 10381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
41	30, 29	posdifd 10804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ 0 < (𝑉 − 𝑈)))
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑉 − 𝑈))
43	26, 31, 32, 42	mulgt0d 10382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
44		0red 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	26, 31	remulcld 10260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
46	44, 45	ltnled 10374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ↔ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
47	43, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
48	47	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
49	48	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
50	24, 49	pm2.65da 601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑈 = 𝐴)
51	50	neqned 2937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≠ 𝐴)
52	7, 51	jca 555	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
53		eldifsn 4460	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
54	52, 53	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
55	5, 54	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
56	5	oveq1d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
57	56	fveq2d 6354	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑈 − 𝐴)))
58	30, 34, 35	abssuble0d 14368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
59	58	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
60	57, 59	eqtrd 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
61	34, 30	resubcld 10648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
62		unbdqndv2lem2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 12063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
64	34, 29, 30, 36	lesub1dd 10833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ≤ (𝑉 − 𝑈))
65		unbdqndv2lem2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
66	61, 31, 63, 64, 65	lelttrd 10385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
67	66	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
68	60, 67	eqbrtrd 4824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
69	26, 61	remulcld 10260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
70	69	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
71	45	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
72	14, 33	ffvelrnd 6521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
73	15, 72	subcld 10582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
74	73	abscld 14372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
76	44, 26, 32	ltled 10375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
77	61, 31, 26, 76, 64	lemul2ad 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
78	77	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
79		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
80	70, 71, 75, 78, 79	letrd 10384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
81	26	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	61	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
83	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
84	51	necomd 2985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑈)
85	83, 84	jca 555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈))
86	30, 34	ltlend 10372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
87	86	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
88	85, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 < 𝐴)
89	30, 34	posdifd 10804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
90	89	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
91	88, 90	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 0 < (𝐴 − 𝑈))
92	82, 91	jca 555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
93		elrp 12025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺ ↔ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺)
95	81, 75, 94	lemuldivd 12112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈))))
96	80, 95	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
97	5	fveq2d 6354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑈))
98		unbdqndv2lem2.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))))
100		fveq2 6350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑈))
101	100	oveq1d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))
102		oveq1 6818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
103	101, 102	oveq12d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
104	103	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑧 = 𝑈) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
105		ovexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)) ∈ V)
106	99, 104, 54, 105	fvmptd 6448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑈) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
107	97, 106	eqtrd 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
108	107	fveq2d 6354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))))
109	73	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
110	30	recnd 10258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
111	34	recnd 10258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
112	110, 111	subcld 10582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
113	112	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
114	110	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
115	111	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
116	114, 115, 51	subne0d 10591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ≠ 0)
117	109, 113, 116	absdivd 14391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))))
118	59	oveq2d 6827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
119	117, 118	eqtrd 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
120	108, 119	eqtrd 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
121	120	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
122	96, 121	breqtrd 4828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
123	68, 122	jca 555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
124	55, 123	jca 555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
125	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
126		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
127	126	iffalsed 4239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑉)
128	125, 127	eqtrd 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑉)
129	28	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ 𝑋)
130	30, 29, 37	abssubge0d 14367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) = (𝑉 − 𝑈))
131	130	oveq2d 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
132	131	breq1d 4812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
133	132	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
134	126, 133	mtbird 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
135	14, 28	ffvelrnd 6521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑉) ∈ ℂ)
136	31	recnd 10258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℂ)
137	44, 42	gtned 10362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ≠ 0)
138		unbdqndv2lem2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
139	135, 15	subcld 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
140	139, 136, 137	absdivd 14391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
141	130	oveq2d 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
142	140, 141	eqtrd 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
143	142	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
144	138, 143	breqtrd 4828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
145	135, 15, 72, 136, 25, 137, 144	unbdqndv2lem1 32804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
146	145	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
147		orel2 397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → (((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))))
148	134, 146, 147	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
149	148	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
150		fveq2 6350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → (𝐹‘𝑉) = (𝐹‘𝐴))
151	150	oveq1d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
152	151	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
153	72	subidd 10570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
154	153	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
155	152, 154	eqtrd 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
156	155	fveq2d 6354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘0))
157	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
158	156, 157	eqtrd 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
159	158	adantlr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
160	149, 159	breqtrd 4828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
161	131	breq1d 4812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0 ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
162	47, 161	mtbird 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
163	162	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
164	163	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
165	160, 164	pm2.65da 601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑉 = 𝐴)
166	165	neqned 2937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ≠ 𝐴)
167	129, 166	jca 555	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
168		eldifsn 4460	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
169	167, 168	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
170	128, 169	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
171	128	oveq1d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
172	171	fveq2d 6354	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑉 − 𝐴)))
173	34, 29, 36	abssubge0d 14367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
174	173	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
175	172, 174	eqtrd 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
176	29, 34	resubcld 10648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℝ)
177	30, 34, 29, 35	lesub2dd 10834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ≤ (𝑉 − 𝑈))
178	176, 31, 63, 177, 65	lelttrd 10385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
179	178	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
180	175, 179	eqbrtrd 4824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
181	173, 176	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ)
182	26, 181	remulcld 10260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
183	182	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
184	131, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
185	184	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
186	135, 72	subcld 10582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
187	186	abscld 14372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
188	187	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
189	130, 31	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
190	177, 173, 130	3brtr4d 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ≤ (abs‘(𝑉 − 𝑈)))
191	181, 189, 26, 76, 190	lemul2ad 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
192	191	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
193	183, 185, 188, 192, 148	letrd 10384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
194	26	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
195	176	recnd 10258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
196	195	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
197	29	recnd 10258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
198	197	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ ℂ)
199	111	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
200	198, 199, 166	subne0d 10591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ≠ 0)
201	196, 200	absrpcld 14384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
202	194, 188, 201	lemuldivd 12112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴)))))
203	193, 202	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
204	128	fveq2d 6354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑉))
205	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))))
206		fveq2 6350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑉))
207	206	oveq1d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))
208		oveq1 6818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
209	207, 208	oveq12d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
210	209	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑧 = 𝑉) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
211		ovexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)) ∈ V)
212	205, 210, 169, 211	fvmptd 6448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑉) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
213	204, 212	eqtrd 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
214	213	fveq2d 6354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))))
215	186	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
216	215, 196, 200	absdivd 14391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
217	214, 216	eqtrd 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
218	217	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
219	203, 218	breqtrd 4828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
220	180, 219	jca 555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
221	170, 220	jca 555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
222	124, 221	pm2.61dan 867	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 382 ∧ wa 383 = wceq 1630 ∈ wcel 2137 ≠ wne 2930 Vcvv 3338 ∖ cdif 3710 ⊆ wss 3713 ifcif 4228 {csn 4319 class class class wbr 4802 ↦ cmpt 4879 ⟶wf 6043 ‘cfv 6047 (class class class)co 6811 ℂcc 10124 ℝcr 10125 0cc0 10126 · cmul 10131 < clt 10264 ≤ cle 10265 − cmin 10456 / cdiv 10874 2c2 11260 ℝ⁺crp 12023 abscabs 14171

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1869 ax-4 1884 ax-5 1986 ax-6 2052 ax-7 2088 ax-8 2139 ax-9 2146 ax-10 2166 ax-11 2181 ax-12 2194 ax-13 2389 ax-ext 2738 ax-sep 4931 ax-nul 4939 ax-pow 4990 ax-pr 5053 ax-un 7112 ax-cnex 10182 ax-resscn 10183 ax-1cn 10184 ax-icn 10185 ax-addcl 10186 ax-addrcl 10187 ax-mulcl 10188 ax-mulrcl 10189 ax-mulcom 10190 ax-addass 10191 ax-mulass 10192 ax-distr 10193 ax-i2m1 10194 ax-1ne0 10195 ax-1rid 10196 ax-rnegex 10197 ax-rrecex 10198 ax-cnre 10199 ax-pre-lttri 10200 ax-pre-lttrn 10201 ax-pre-ltadd 10202 ax-pre-mulgt0 10203 ax-pre-sup 10204

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 384 df-an 385 df-3or 1073 df-3an 1074 df-tru 1633 df-ex 1852 df-nf 1857 df-sb 2045 df-eu 2609 df-mo 2610 df-clab 2745 df-cleq 2751 df-clel 2754 df-nfc 2889 df-ne 2931 df-nel 3034 df-ral 3053 df-rex 3054 df-reu 3055 df-rmo 3056 df-rab 3057 df-v 3340 df-sbc 3575 df-csb 3673 df-dif 3716 df-un 3718 df-in 3720 df-ss 3727 df-pss 3729 df-nul 4057 df-if 4229 df-pw 4302 df-sn 4320 df-pr 4322 df-tp 4324 df-op 4326 df-uni 4587 df-iun 4672 df-br 4803 df-opab 4863 df-mpt 4880 df-tr 4903 df-id 5172 df-eprel 5177 df-po 5185 df-so 5186 df-fr 5223 df-we 5225 df-xp 5270 df-rel 5271 df-cnv 5272 df-co 5273 df-dm 5274 df-rn 5275 df-res 5276 df-ima 5277 df-pred 5839 df-ord 5885 df-on 5886 df-lim 5887 df-suc 5888 df-iota 6010 df-fun 6049 df-fn 6050 df-f 6051 df-f1 6052 df-fo 6053 df-f1o 6054 df-fv 6055 df-riota 6772 df-ov 6814 df-oprab 6815 df-mpt2 6816 df-om 7229 df-2nd 7332 df-wrecs 7574 df-recs 7635 df-rdg 7673 df-er 7909 df-en 8120 df-dom 8121 df-sdom 8122 df-sup 8511 df-pnf 10266 df-mnf 10267 df-xr 10268 df-ltxr 10269 df-le 10270 df-sub 10458 df-neg 10459 df-div 10875 df-nn 11211 df-2 11269 df-3 11270 df-n0 11483 df-z 11568 df-uz 11878 df-rp 12024 df-seq 12994 df-exp 13053 df-cj 14036 df-re 14037 df-im 14038 df-sqrt 14172 df-abs 14173

This theorem is referenced by: unbdqndv2 32806

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