unbdqndv2lem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem unbdqndv2lem2 32140

Description: Lemma for unbdqndv2 32141. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
unbdqndv2lem2.w	⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
unbdqndv2lem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
unbdqndv2lem2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
unbdqndv2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
unbdqndv2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
unbdqndv2lem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
unbdqndv2lem2.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
unbdqndv2lem2.5	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))

**Assertion**
Ref	Expression
unbdqndv2lem2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐴 𝑧,𝐵 𝑧,𝐹 𝑧,𝑈 𝑧,𝑉 𝑧,𝑋 𝜑,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑧) 𝐺(𝑧) 𝑊(𝑧)

**Proof of Theorem unbdqndv2lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
3		iftrue 4064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑈)
5	2, 4	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑈)
6		unbdqndv2lem2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ 𝑋)
8		simplr 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
9		fveq2 6148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eqcomd 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑈))
11	10	oveq2d 6620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)))
12	11	fveq2d 6152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = 𝐴 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))))
14		unbdqndv2lem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
15	14, 6	ffvelrnd 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℂ)
16	15	subidd 10324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈)) = 0)
17	16	fveq2d 6152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = (abs‘0))
19		abs0 13959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
21	18, 20	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝑈))) = 0)
22	13, 21	eqtrd 2655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
23	22	adantlr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
24	8, 23	breqtrd 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
25		unbdqndv2lem2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
26	25	rpred 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27		unbdqndv2lem2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28		unbdqndv2lem2.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
29	27, 28	sseldd 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
30	27, 6	sseldd 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 10402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℝ)
32	25	rpgt0d 11819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
33		unbdqndv2lem2.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	27, 33	sseldd 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
35		unbdqndv2lem2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
36		unbdqndv2lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑉)
37	30, 34, 29, 35, 36	letrd 10138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑉)
38		unbdqndv2lem2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	38	necomd 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
40	30, 29, 37, 39	leneltd 10135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑉)
41	30, 29	posdifd 10558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑉 ↔ 0 < (𝑉 − 𝑈)))
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑉 − 𝑈))
43	26, 31, 32, 42	mulgt0d 10136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
44		0red 9985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	26, 31	remulcld 10014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
46	44, 45	ltnled 10128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ↔ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
47	43, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑈 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0)
50	24, 49	pm2.65da 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑈 = 𝐴)
51	50	neqned 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≠ 𝐴)
52	7, 51	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
53		eldifsn 4287	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ≠ 𝐴))
54	52, 53	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
55	5, 54	eqeltrd 2698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
56	5	oveq1d 6619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
57	56	fveq2d 6152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑈 − 𝐴)))
58	30, 34, 35	abssuble0d 14105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
59	58	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑈 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
60	57, 59	eqtrd 2655	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝑈))
61	34, 30	resubcld 10402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
62		unbdqndv2lem2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 11816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
64	34, 29, 30, 36	lesub1dd 10587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) ≤ (𝑉 − 𝑈))
65		unbdqndv2lem2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) < 𝐷)
66	61, 31, 63, 64, 65	lelttrd 10139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
67	66	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) < 𝐷)
68	60, 67	eqbrtrd 4635	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
69	26, 61	remulcld 10014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
70	69	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ∈ ℝ)
71	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
72	14, 33	ffvelrnd 6316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
73	15, 72	subcld 10336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
74	73	abscld 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
76	44, 26, 32	ltled 10129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
77	61, 31, 26, 76, 64	lemul2ad 10908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
79		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
80	70, 71, 75, 78, 79	letrd 10138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
81	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ)
83	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
84	51	necomd 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑈)
85	83, 84	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈))
86	30, 34	ltlend 10126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ (𝑈 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 𝑈)))
88	85, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 < 𝐴)
89	30, 34	posdifd 10558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
91	88, 90	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 0 < (𝐴 − 𝑈))
92	82, 91	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
93		elrp 11778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺ ↔ ((𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 𝑈)))
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐴 − 𝑈) ∈ ℝ⁺)
95	81, 75, 94	lemuldivd 11865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (𝐴 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈))))
96	80, 95	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
97	5	fveq2d 6152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑈))
98		unbdqndv2lem2.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))))
100		fveq2 6148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑈))
101	100	oveq1d 6619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))
102		oveq1 6611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑈 − 𝐴))
103	101, 102	oveq12d 6622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑧 = 𝑈) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
105		ovex 6632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)) ∈ V
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)) ∈ V)
107	99, 104, 54, 106	fvmptd 6245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑈) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
108	97, 107	eqtrd 2655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴)))
109	108	fveq2d 6152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))))
110	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
111	30	recnd 10012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
112	34	recnd 10012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
113	111, 112	subcld 10336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ∈ ℂ)
115	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
116	112	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
117	115, 116, 51	subne0d 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑈 − 𝐴) ≠ 0)
118	110, 114, 117	absdivd 14128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))))
119	59	oveq2d 6620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
120	118, 119	eqtrd 2655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑈 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
121	109, 120	eqtrd 2655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)))
122	121	eqcomd 2627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) / (𝐴 − 𝑈)) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
123	96, 122	breqtrd 4639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
124	68, 123	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
125	55, 124	jca 554	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
126	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉))
127		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
128	127	iffalsed 4069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → if((𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))), 𝑈, 𝑉) = 𝑉)
129	126, 128	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 = 𝑉)
130	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ 𝑋)
131	30, 29, 37	abssubge0d 14104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) = (𝑉 − 𝑈))
132	131	oveq2d 6620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)))
133	132	breq1d 4623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
135	127, 134	mtbird 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))))
136	14, 28	ffvelrnd 6316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑉) ∈ ℂ)
137	31	recnd 10012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ∈ ℂ)
138	44, 42	gtned 10116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) ≠ 0)
139		unbdqndv2lem2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
140	136, 15	subcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
141	140, 137, 138	absdivd 14128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
142	131	oveq2d 6620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (abs‘(𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
143	141, 142	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)))
144	143	eqcomd 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈))) / (𝑉 − 𝑈)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
145	139, 144	breqtrd 4639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ≤ (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑉 − 𝑈))))
146	136, 15, 72, 137, 25, 138, 145	unbdqndv2lem1 32139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))))
148		orel2 398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴))) → (((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∨ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))))
149	135, 147, 148	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
150	149	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
151		fveq2 6148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → (𝐹‘𝑉) = (𝐹‘𝐴))
152	151	oveq1d 6619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)))
154	72	subidd 10324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
156	153, 155	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) = 0)
157	156	fveq2d 6152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = (abs‘0))
158	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘0) = 0)
159	157, 158	eqtrd 2655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
160	159	adantlr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) = 0)
161	150, 160	breqtrd 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
162	132	breq1d 4623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0 ↔ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ 0))
163	47, 162	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
164	163	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
165	164	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑉 = 𝐴) → ¬ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ≤ 0)
166	161, 165	pm2.65da 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ¬ 𝑉 = 𝐴)
167	166	neqned 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ≠ 𝐴)
168	130, 167	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
169		eldifsn 4287	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ≠ 𝐴))
170	168, 169	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
171	129, 170	eqeltrd 2698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
172	129	oveq1d 6619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
173	172	fveq2d 6152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (abs‘(𝑉 − 𝐴)))
174	34, 29, 36	abssubge0d 14104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
175	174	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
176	173, 175	eqtrd 2655	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) = (𝑉 − 𝐴))
177	29, 34	resubcld 10402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℝ)
178	30, 34, 29, 35	lesub2dd 10588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ≤ (𝑉 − 𝑈))
179	177, 31, 63, 178, 65	lelttrd 10139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
180	179	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) < 𝐷)
181	176, 180	eqbrtrd 4635	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷)
182	174, 177	eqeltrd 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ)
183	26, 182	remulcld 10014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
184	183	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ∈ ℝ)
185	132, 45	eqeltrd 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
186	185	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))) ∈ ℝ)
187	136, 72	subcld 10336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
188	187	abscld 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
189	188	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
190	131, 31	eqeltrd 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝑈)) ∈ ℝ)
191	178, 174, 131	3brtr4d 4645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ≤ (abs‘(𝑉 − 𝑈)))
192	182, 190, 26, 76, 191	lemul2ad 10908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
193	192	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝑈))))
194	184, 186, 189, 193, 149	letrd 10138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))))
195	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
196	177	recnd 10012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
197	196	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ∈ ℂ)
198	29	recnd 10012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
199	198	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝑉 ∈ ℂ)
200	112	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
201	199, 200, 167	subne0d 10345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑉 − 𝐴) ≠ 0)
202	197, 201	absrpcld 14121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝑉 − 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
203	195, 189, 202	lemuldivd 11865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐵 · (abs‘(𝑉 − 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) ↔ 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴)))))
204	194, 203	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
205	129	fveq2d 6152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (𝐺‘𝑉))
206	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))))
207		fveq2 6148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑉))
208	207	oveq1d 6619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)))
209		oveq1 6611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑧 − 𝐴) = (𝑉 − 𝐴))
210	208, 209	oveq12d 6622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
211	210	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) ∧ 𝑧 = 𝑉) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
212		ovex 6632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)) ∈ V
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)) ∈ V)
214	206, 211, 170, 213	fvmptd 6245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑉) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
215	205, 214	eqtrd 2655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝐺‘𝑊) = (((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴)))
216	215	fveq2d 6152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))))
217	187	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
218	217, 197, 201	absdivd 14128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑉 − 𝐴))) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
219	216, 218	eqtrd 2655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (abs‘(𝐺‘𝑊)) = ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))))
220	219	eqcomd 2627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘((𝐹‘𝑉) − (𝐹‘𝐴))) / (abs‘(𝑉 − 𝐴))) = (abs‘(𝐺‘𝑊)))
221	204, 220	breqtrd 4639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))
222	181, 221	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊))))
223	171, 222	jca 554	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐵 · (𝑉 − 𝑈)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑈) − (𝐹‘𝐴)))) → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))
224	125, 223	pm2.61dan 831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(𝑊 − 𝐴)) < 𝐷 ∧ 𝐵 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑊)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 = wceq 1480 ∈ wcel 1987 ≠ wne 2790 Vcvv 3186 ∖ cdif 3552 ⊆ wss 3555 ifcif 4058 {csn 4148 class class class wbr 4613 ↦ cmpt 4673 ⟶wf 5843 ‘cfv 5847 (class class class)co 6604 ℂcc 9878 ℝcr 9879 0cc0 9880 · cmul 9885 < clt 10018 ≤ cle 10019 − cmin 10210 / cdiv 10628 2c2 11014 ℝ⁺crp 11776 abscabs 13908

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1719 ax-4 1734 ax-5 1836 ax-6 1885 ax-7 1932 ax-8 1989 ax-9 1996 ax-10 2016 ax-11 2031 ax-12 2044 ax-13 2245 ax-ext 2601 ax-sep 4741 ax-nul 4749 ax-pow 4803 ax-pr 4867 ax-un 6902 ax-cnex 9936 ax-resscn 9937 ax-1cn 9938 ax-icn 9939 ax-addcl 9940 ax-addrcl 9941 ax-mulcl 9942 ax-mulrcl 9943 ax-mulcom 9944 ax-addass 9945 ax-mulass 9946 ax-distr 9947 ax-i2m1 9948 ax-1ne0 9949 ax-1rid 9950 ax-rnegex 9951 ax-rrecex 9952 ax-cnre 9953 ax-pre-lttri 9954 ax-pre-lttrn 9955 ax-pre-ltadd 9956 ax-pre-mulgt0 9957 ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1037 df-3an 1038 df-tru 1483 df-ex 1702 df-nf 1707 df-sb 1878 df-eu 2473 df-mo 2474 df-clab 2608 df-cleq 2614 df-clel 2617 df-nfc 2750 df-ne 2791 df-nel 2894 df-ral 2912 df-rex 2913 df-reu 2914 df-rmo 2915 df-rab 2916 df-v 3188 df-sbc 3418 df-csb 3515 df-dif 3558 df-un 3560 df-in 3562 df-ss 3569 df-pss 3571 df-nul 3892 df-if 4059 df-pw 4132 df-sn 4149 df-pr 4151 df-tp 4153 df-op 4155 df-uni 4403 df-iun 4487 df-br 4614 df-opab 4674 df-mpt 4675 df-tr 4713 df-eprel 4985 df-id 4989 df-po 4995 df-so 4996 df-fr 5033 df-we 5035 df-xp 5080 df-rel 5081 df-cnv 5082 df-co 5083 df-dm 5084 df-rn 5085 df-res 5086 df-ima 5087 df-pred 5639 df-ord 5685 df-on 5686 df-lim 5687 df-suc 5688 df-iota 5810 df-fun 5849 df-fn 5850 df-f 5851 df-f1 5852 df-fo 5853 df-f1o 5854 df-fv 5855 df-riota 6565 df-ov 6607 df-oprab 6608 df-mpt2 6609 df-om 7013 df-2nd 7114 df-wrecs 7352 df-recs 7413 df-rdg 7451 df-er 7687 df-en 7900 df-dom 7901 df-sdom 7902 df-sup 8292 df-pnf 10020 df-mnf 10021 df-xr 10022 df-ltxr 10023 df-le 10024 df-sub 10212 df-neg 10213 df-div 10629 df-nn 10965 df-2 11023 df-3 11024 df-n0 11237 df-z 11322 df-uz 11632 df-rp 11777 df-seq 12742 df-exp 12801 df-cj 13773 df-re 13774 df-im 13775 df-sqrt 13909 df-abs 13910

This theorem is referenced by: unbdqndv2 32141

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