MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncfval 17472
Description: Value of the uncurry functor, which is the reverse of the curry functor, taking 𝐺:𝐶⟶(𝐷𝐸) to uncurryF (𝐺):𝐶 × 𝐷𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
uncfval.g 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
uncfval.c (𝜑𝐷 ∈ Cat)
uncfval.d (𝜑𝐸 ∈ Cat)
uncfval.f (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
Assertion
Ref Expression
uncfval (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))

Proof of Theorem uncfval
Dummy variables 𝑓 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncfval.g . 2 𝐹 = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺)
2 df-uncf 17453 . . . 4 uncurryF = (𝑐 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)))))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → uncurryF = (𝑐 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1))))))
4 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → 𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩)
54fveq1d 6665 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘1) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1))
6 uncfval.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
7 s3fv1 14242 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘1) = 𝐷)
105, 9eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘1) = 𝐷)
114fveq1d 6665 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘2) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2))
12 uncfval.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
13 s3fv2 14243 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘2) = 𝐸)
1611, 15eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘2) = 𝐸)
1710, 16oveq12d 7163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) = (𝐷 evalF 𝐸))
18 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → 𝑓 = 𝐺)
194fveq1d 6665 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘0) = (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0))
20 uncfval.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)))
21 funcrcl 17121 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐸)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝐷 FuncCat 𝐸) ∈ Cat))
2322simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
24 s3fv0 14241 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ Cat → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩‘0) = 𝐶)
2719, 26eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑐‘0) = 𝐶)
2827, 10oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1)) = (𝐶 1stF 𝐷))
2918, 28oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) = (𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)))
3027, 10oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)) = (𝐶 2ndF 𝐷))
3129, 30oveq12d 7163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1))) = ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷)))
3217, 31oveq12d 7163 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 = ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∧ 𝑓 = 𝐺)) → (((𝑐‘1) evalF (𝑐‘2)) ∘func ((𝑓func ((𝑐‘0) 1stF (𝑐‘1))) ⟨,⟩F ((𝑐‘0) 2ndF (𝑐‘1)))) = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
33 s3cli 14231 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ Word V
34 elex 3510 . . . 4 (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ V)
3533, 34mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ ∈ V)
3620elexd 3512 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
37 ovexd 7180 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))) ∈ V)
383, 32, 35, 36, 37ovmpod 7291 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷𝐸”⟩ uncurryF 𝐺) = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
391, 38syl5eq 2865 1 (𝜑𝐹 = ((𝐷 evalF 𝐸) ∘func ((𝐺func (𝐶 1stF 𝐷)) ⟨,⟩F (𝐶 2ndF 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  0cc0 10525  1c1 10526  2c2 11680  Word cword 13849  ⟨“cs3 14192  Catccat 16923   Func cfunc 17112  func ccofu 17114   FuncCat cfuc 17200   1stF c1stf 17407   2ndF c2ndf 17408   ⟨,⟩F cprf 17409   evalF cevlf 17447   uncurryF cuncf 17449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-func 17116  df-uncf 17453
This theorem is referenced by:  uncfcl  17473  uncf1  17474  uncf2  17475
  Copyright terms: Public domain W3C validator