MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 9615
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 ctex 8512 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2 ctex 8512 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3 undjudom 9581 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
5 djudom1 9596 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
62, 5sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8 omex 9094 . . . . 5 ω ∈ V
9 djudom2 9597 . . . . 5 ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11 domtr 8550 . . . 4 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
126, 10, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
138, 8xpex 7465 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
14 xp2dju 9590 . . . . . 6 (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15 ordom 7578 . . . . . . . 8 Ord ω
16 2onn 8255 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
17 ordelss 6200 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
1815, 16, 17mp2an 688 . . . . . . 7 2o ⊆ ω
19 xpss1 5567 . . . . . . 7 (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
2114, 20eqsstrri 3999 . . . . 5 (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22 ssdomg 8543 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
2313, 21, 22mp2 9 . . . 4 (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24 xpomen 9429 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
25 domentr 8556 . . . 4 (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
2623, 24, 25mp2an 688 . . 3 (ω ⊔ ω) ≼ ω
27 domtr 8550 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
2812, 26, 27sylancl 586 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
29 domtr 8550 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
304, 28, 29syl2anc 584 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  Ord word 6183  ωcom 7569  2oc2o 8085  cen 8494  cdom 8495  cdju 9315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356
This theorem is referenced by:  cctop  21542  2ndcdisj2  21993  ovolctb2  24020  uniiccdif  24106  prct  30376  pibt2  34580
  Copyright terms: Public domain W3C validator