MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 8979
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 7913 . . . 4 Rel ≼
21brrelexi 5123 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
31brrelexi 5123 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
4 uncdadom 8945 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
52, 3, 4syl2an 494 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 cdadom1 8960 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵))
7 cdadom2 8961 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
8 domtr 7961 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵) ∧ (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
96, 7, 8syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
10 omex 8492 . . . . . 6 ω ∈ V
1110, 10xpex 6922 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
12 xp2cda 8954 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω)
14 ordom 7028 . . . . . . . 8 Ord ω
15 2onn 7672 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
16 ordelss 5703 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1714, 15, 16mp2an 707 . . . . . . 7 2𝑜 ⊆ ω
18 xpss2 5195 . . . . . . 7 (2𝑜 ⊆ ω → (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω)
2013, 19eqsstr3i 3620 . . . . 5 (ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω)
21 ssdomg 7953 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)))
2211, 20, 21mp2 9 . . . 4 (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)
23 xpomen 8790 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
24 domentr 7967 . . . 4 (((ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ ω)
2522, 23, 24mp2an 707 . . 3 (ω +𝑐 ω) ≼ ω
26 domtr 7961 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω) ∧ (ω +𝑐 ω) ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
279, 25, 26sylancl 693 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
28 domtr 7961 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
295, 27, 28syl2anc 692 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cun 3557  wss 3559   class class class wbr 4618   × cxp 5077  Ord word 5686  (class class class)co 6610  ωcom 7019  2𝑜c2o 7506  cen 7904  cdom 7905   +𝑐 ccda 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942
This theorem is referenced by:  cctop  20733  2ndcdisj2  21183  ovolctb2  23183  uniiccdif  23269  prct  29358
  Copyright terms: Public domain W3C validator