Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unelcarsg 29503
Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
inelcarsg.2 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
unelcarsg (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 difelcarsg.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
41, 2, 3elcarsgss 29500 . . . 4 (𝜑𝐴𝑂)
5 dfss4 3815 . . . 4 (𝐴𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) = 𝐴)
64, 5sylib 206 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) = 𝐴)
7 inelcarsg.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
81, 2, 7elcarsgss 29500 . . . 4 (𝜑𝐵𝑂)
9 dfss4 3815 . . . 4 (𝐵𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)) = 𝐵)
108, 9sylib 206 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)) = 𝐵)
116, 10uneq12d 3725 . 2 (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵))) = (𝐴𝐵))
12 difindi 3835 . . 3 (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)))
131, 2, 3difelcarsg 29501 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14 inelcarsg.1 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
151, 2, 7difelcarsg 29501 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
161, 2, 13, 14, 15inelcarsg 29502 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
171, 2, 16difelcarsg 29501 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1812, 17syl5eqelr 2688 . 2 (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1911, 18eqeltrrd 2684 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3532  cun 3533  cin 3534  wss 3535  𝒫 cpw 4103   class class class wbr 4573  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  +∞cpnf 9923  cle 9927   +𝑒 cxad 11772  [,]cicc 12001  toCaraSigaccarsg 29492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-xadd 11775  df-icc 12005  df-carsg 29493
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  29507
  Copyright terms: Public domain W3C validator