Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelldsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unelldsys 30002
Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isldsys.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
unelldsys.s (𝜑𝑆𝐿)
unelldsys.a (𝜑𝐴𝑆)
unelldsys.b (𝜑𝐵𝑆)
unelldsys.c (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
unelldsys (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3738 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
21adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3 uncom 3735 . . . . 5 (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4 un0 3939 . . . . 5 (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
53, 4eqtr3i 2645 . . . 4 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
62, 5syl6eq 2671 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
7 unelldsys.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐵𝑆)
96, 8eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
10 unelldsys.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
11 uniprg 4416 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1210, 7, 11syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
14 prct 29335 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
1510, 7, 14syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17 unelldsys.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1910adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
207adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐵𝑆)
21 n0 3907 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2221biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
2322adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
24 disjel 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑧𝐴) → ¬ 𝑧𝐵)
2517, 24sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝑧𝐵)
26 nelne1 2886 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝐵) → 𝐴𝐵)
2726adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ 𝑧𝐵) → 𝐴𝐵)
2825, 27mpdan 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
2928adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
3023, 29exlimddv 1860 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
32 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3331, 32disjprg 4608 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
3419, 20, 30, 33syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
3518, 34mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
36 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
37 disjeq1 4590 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦𝑧 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
3836, 37anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
39 unieq 4410 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → 𝑧 = {𝐴, 𝐵})
4039eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑧𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
42 unelldsys.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐿)
43 isldsys.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
44 biid 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
45 difeq2 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑧))
4645eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂𝑧) ∈ 𝑠))
4746cbvralv 3159 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠)
48 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
49 disjeq1 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑧 𝑦))
5048, 49anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)))
51 unieq 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 𝑥 = 𝑧)
5251eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑠 𝑧𝑠))
5350, 52imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠)))
5453cbvralv 3159 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))
5544, 47, 543anbi123i 1249 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠)))
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 → ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))))
5756rabbiia 3173 . . . . . . . . . . 11 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))}
5843, 57eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))}
5958isldsys 30000 . . . . . . . . 9 (𝑆𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))))
6042, 59sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))))
6160simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆)))
6261simp3d 1073 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))
63 prelpwi 4876 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
6410, 7, 63syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
6541, 62, 64rspcdva 3301 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6665adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6716, 35, 66mp2and 714 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
6813, 67eqeltrrd 2699 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
699, 68pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {cpr 4150   cuni 4402  Disj wdisj 4583   class class class wbr 4613  ωcom 7012  cdom 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  30007
  Copyright terms: Public domain W3C validator