HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unierri 28135
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4 𝑇 ∈ UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ UniOp
2 unopbd 28046 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐹 ∈ BndLinOp
4 bdopf 27893 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6 unierr.2 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ UniOp
7 unopbd 28046 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺 ∈ BndLinOp
9 bdopf 27893 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺: ℋ⟶ ℋ
115, 10hocofi 27797 . . . . 5 (𝐹𝐺): ℋ⟶ ℋ
12 unierr.3 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ UniOp
13 unopbd 28046 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ BndLinOp
15 bdopf 27893 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17 unierr.4 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ UniOp
18 unopbd 28046 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
20 bdopf 27893 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2216, 21hocofi 27797 . . . . 5 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
2311, 22hosubcli 27800 . . . 4 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24 nmop0h 28022 . . . 4 (( ℋ = 0 ∧ ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
2523, 24mpan2 702 . . 3 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
26 0le0 10865 . . . . 5 0 ≤ 0
27 00id 9962 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2826, 27breqtrri 4508 . . . 4 0 ≤ (0 + 0)
295, 16hosubcli 27800 . . . . . 6 (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30 nmop0h 28022 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3129, 30mpan2 702 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3210, 21hosubcli 27800 . . . . . 6 (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33 nmop0h 28022 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3432, 33mpan2 702 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3531, 34oveq12d 6444 . . . 4 ( ℋ = 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (0 + 0))
3628, 35syl5breqr 4519 . . 3 ( ℋ = 0 → 0 ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3725, 36eqbrtrd 4503 . 2 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3816, 10hocofi 27797 . . . . . 6 (𝑆𝐺): ℋ⟶ ℋ
3911, 38, 22honpncani 27858 . . . . 5 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))
4039fveq2i 5990 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)))
413, 8bdopcoi 28129 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) ∈ BndLinOp
4214, 8bdopcoi 28129 . . . . . . 7 (𝑆𝐺) ∈ BndLinOp
4341, 42bdophdi 28128 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp
4414, 19bdopcoi 28129 . . . . . . 7 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
4542, 44bdophdi 28128 . . . . . 6 ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp
4643, 45nmoptrii 28125 . . . . 5 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))))
475, 16, 10hocsubdiri 27811 . . . . . . . 8 ((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))
4847fveq2i 5990 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)))
493, 14bdophdi 28128 . . . . . . . 8 (𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp
5049, 8nmopcoi 28126 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
5148, 50eqbrtrri 4504 . . . . . 6 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
52 bdopln 27892 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
5314, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ LinOp
5453, 10, 21hoddii 28020 . . . . . . . 8 (𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇)) = ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))
5554fveq2i 5990 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) = (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))
568, 19bdophdi 28128 . . . . . . . 8 (𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp
5714, 56nmopcoi 28126 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
5855, 57eqbrtrri 4504 . . . . . 6 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
59 nmopre 27901 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ)
6043, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ
61 nmopre 27901 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ)
6245, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ
63 nmopre 27901 . . . . . . . . 9 ((𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ)
6449, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ
65 nmopre 27901 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop𝐺) ∈ ℝ)
668, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝐺) ∈ ℝ
6764, 66remulcli 9809 . . . . . . 7 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∈ ℝ
68 nmopre 27901 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
6914, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝑆) ∈ ℝ
70 nmopre 27901 . . . . . . . . 9 ((𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ)
7156, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ
7269, 71remulcli 9809 . . . . . . 7 ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) ∈ ℝ
7360, 62, 67, 72le2addi 10340 . . . . . 6 (((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
7451, 58, 73mp2an 703 . . . . 5 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
7543, 45bdophsi 28127 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp
76 nmopre 27901 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7860, 62readdcli 9808 . . . . . 6 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7967, 72readdcli 9808 . . . . . 6 (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) ∈ ℝ
8077, 78, 79letri 9917 . . . . 5 (((normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
8146, 74, 80mp2an 703 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
8240, 81eqbrtrri 4504 . . 3 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
83 nmopun 28045 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝐺 ∈ UniOp) → (normop𝐺) = 1)
846, 83mpan2 702 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝐺) = 1)
8584oveq2d 6442 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1))
8664recni 9807 . . . . . 6 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℂ
8786mulid1i 9797 . . . . 5 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹op 𝑆))
8885, 87syl6eq 2564 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = (normop‘(𝐹op 𝑆)))
89 nmopun 28045 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝑆 ∈ UniOp) → (normop𝑆) = 1)
9012, 89mpan2 702 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝑆) = 1)
9190oveq1d 6441 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9271recni 9807 . . . . . 6 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℂ
9392mulid2i 9798 . . . . 5 (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇))
9491, 93syl6eq 2564 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇)))
9588, 94oveq12d 6444 . . 3 ( ℋ ≠ 0 → (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9682, 95syl5breq 4518 . 2 ( ℋ ≠ 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9737, 96pm2.61ine 2769 1 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  ccom 4936  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696  cle 9830  chil 26948  0c0h 26964   +op chos 26967  op chod 26969  normopcnop 26974  LinOpclo 26976  BndLinOpcbo 26977  UniOpcuo 26978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cc 9016  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771  ax-hilex 27028  ax-hfvadd 27029  ax-hvcom 27030  ax-hvass 27031  ax-hv0cl 27032  ax-hvaddid 27033  ax-hfvmul 27034  ax-hvmulid 27035  ax-hvmulass 27036  ax-hvdistr1 27037  ax-hvdistr2 27038  ax-hvmul0 27039  ax-hfi 27108  ax-his1 27111  ax-his2 27112  ax-his3 27113  ax-his4 27114  ax-hcompl 27231
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-lm 20746  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cfil 22725  df-cau 22726  df-cmet 22727  df-grpo 26469  df-gid 26470  df-ginv 26471  df-gdiv 26472  df-ablo 26524  df-vc 26539  df-nv 26587  df-va 26590  df-ba 26591  df-sm 26592  df-0v 26593  df-vs 26594  df-nmcv 26595  df-ims 26596  df-dip 26713  df-ssp 26737  df-lno 26761  df-nmoo 26762  df-0o 26764  df-ph 26830  df-cbn 26881  df-hnorm 26997  df-hba 26998  df-hvsub 27000  df-hlim 27001  df-hcau 27002  df-sh 27236  df-ch 27250  df-oc 27281  df-ch0 27282  df-shs 27339  df-pjh 27426  df-hosum 27761  df-homul 27762  df-hodif 27763  df-h0op 27779  df-nmop 27870  df-lnop 27872  df-bdop 27873  df-unop 27874  df-hmop 27875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator