MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifpw 8815
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4202 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
21unissi 4853 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
3 unipw 5333 . . . . 5 𝒫 𝐴 = 𝐴
42, 3sseqtri 4000 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
54sseli 3960 . . 3 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
6 snelpwi 5327 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7 snfi 8582 . . . . . . 7 {𝑎} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
96, 8elind 4168 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elssuni 4859 . . . . 5 ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑎𝐴 → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 snidg 4589 . . . 4 (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑎})
1311, 12sseldd 3965 . . 3 (𝑎𝐴𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
145, 13impbii 210 . 2 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎𝐴)
1514eqriv 2815 1 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-om 7570  df-1o 8091  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  isacs5lem  17767  acsmapd  17776  acsmap2d  17777
  Copyright terms: Public domain W3C validator