Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifpw 8221
 Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3816 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
21unissi 4432 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
3 unipw 4884 . . . . 5 𝒫 𝐴 = 𝐴
42, 3sseqtri 3621 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
54sseli 3583 . . 3 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
6 snelpwi 4878 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7 snfi 7990 . . . . . . 7 {𝑎} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
96, 8elind 3781 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elssuni 4438 . . . . 5 ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑎𝐴 → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 snidg 4182 . . . 4 (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑎})
1311, 12sseldd 3588 . . 3 (𝑎𝐴𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
145, 13impbii 199 . 2 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎𝐴)
1514eqriv 2618 1 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  ∪ cuni 4407  Fincfn 7907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-om 7020  df-1o 7512  df-en 7908  df-fin 7911 This theorem is referenced by:  isacs5lem  17101  acsmapd  17110  acsmap2d  17111
 Copyright terms: Public domain W3C validator