MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniimadom 9578
Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
uniimadom.1 𝐴 ∈ V
uniimadom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
uniimadom ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniimadom.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21funimaex 6137 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
32adantr 472 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
4 fvelima 6411 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦)
54ex 449 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
6 breq1 4807 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
76biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
87reximi 3149 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
9 r19.36v 3223 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
115, 10syl6 35 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵)))
1211com23 86 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵)))
1312imp 444 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
1413ralrimiv 3103 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵)
15 unidom 9577 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
163, 14, 15syl2anc 696 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
17 imadomg 9568 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
19 uniimadom.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019xpdom1 8226 . . . 4 ((𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2118, 20syl 17 . . 3 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2221adantr 472 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23 domtr 8176 . 2 (( (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2416, 22, 23syl2anc 696 1 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340   cuni 4588   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cima 5269  Fun wfun 6043  cfv 6049  cdom 8121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-ac2 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149
This theorem is referenced by:  uniimadomf  9579
  Copyright terms: Public domain W3C validator