MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniimadom 9223
Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
uniimadom.1 𝐴 ∈ V
uniimadom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
uniimadom ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniimadom.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21funimaex 5876 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
32adantr 480 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
4 fvelima 6143 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦)
54ex 449 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
6 breq1 4581 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
76biimpd 218 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
87reximi 2994 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
9 r19.36v 3066 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
115, 10syl6 34 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵)))
1211com23 84 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵)))
1312imp 444 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
1413ralrimiv 2948 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵)
15 unidom 9222 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
163, 14, 15syl2anc 691 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
17 imadomg 9215 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
19 uniimadom.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019xpdom1 7922 . . . 4 ((𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2118, 20syl 17 . . 3 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2221adantr 480 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23 domtr 7873 . 2 (( (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2416, 22, 23syl2anc 691 1 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173   cuni 4367   class class class wbr 4578   × cxp 5026  cima 5031  Fun wfun 5784  cfv 5790  cdom 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-ac2 9146
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-card 8626  df-acn 8629  df-ac 8800
This theorem is referenced by:  uniimadomf  9224
  Copyright terms: Public domain W3C validator