MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 23262
Description: Lemma for uniioombl 23270. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2621 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 23154 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6 frn 6012 . . . 4 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
8 rge0ssre 12225 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
97, 8syl6ss 3596 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
10 1nn 10978 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 6010 . . . . . 6 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑇 = ℕ)
125, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
1310, 12syl5eleqr 2705 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
14 ne0i 3899 . . . 4 (1 ∈ dom 𝑇 → dom 𝑇 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
16 dm0rn0 5304 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1716necon3bii 2842 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1815, 17sylib 208 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
19 icossxr 12203 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
207, 19syl6ss 3596 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
21 supxrcl 12091 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
24 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpred 11819 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2623, 25readdcld 10016 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2726rexrd 10036 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10039 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
30 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 ltpnf 11901 . . . 4 (((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3322, 27, 29, 30, 32xrlelttrd 11938 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
34 supxrbnd 12104 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
359, 18, 33, 34syl3anc 1323 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cin 3555  wss 3556  c0 3893   cuni 4404  Disj wdisj 4585   class class class wbr 4615   × cxp 5074  dom cdm 5076  ran crn 5077  ccom 5080  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  supcsup 8293  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886  +∞cpnf 10018  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  cn 10967  +crp 11779  (,)cioo 12120  [,)cico 12122  seqcseq 12744  abscabs 13911  vol*covol 23144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-fz 12272  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23266  uniioombllem4  23267  uniioombllem5  23268  uniioombllem6  23269
  Copyright terms: Public domain W3C validator