Theorem uniretop 23374

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 12840	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 23372	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 21578	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2850	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4841  ran crn 5559  ‘cfv 6358  ℝcr 10539  (,)cioo 12741  topGenctg 16714  TopBasesctb 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-ioo 12745  df-topgen 16720  df-bases 21557

This theorem is referenced by:  retopon  23375  retps  23376  icccld  23378  icopnfcld  23379  iocmnfcld  23380  qdensere  23381  zcld  23424  iccntr  23432  icccmp  23436  retopconn  23440  opnreen  23442  rectbntr0  23443  cnmpopc  23535  evth  23566  evth2  23567  evthicc  24063  ovolicc2  24126  opnmbllem  24205  lhop  24616  dvcnvrelem2  24618  dvcnvre  24619  ftc1  24642  taylthlem2  24965  ipasslem8  28617  circtopn  31105  tpr2rico  31159  rrhf  31243  rrhqima  31259  rrhre  31266  brsigarn  31447  unibrsiga  31449  sxbrsigalem3  31534  dya2iocucvr  31546  sxbrsigalem1  31547  orrvcval4  31726  orrvcoel  31727  orrvccel  31728  retopsconn  32500  cvmliftlem10  32545  ivthALT  33687  ptrecube  34896  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  opnmbllem0  34932  mblfinlem1  34933  mblfinlem2  34934  mblfinlem3  34935  mblfinlem4  34936  ismblfin  34937  ftc1cnnc  34970  refsum2cnlem1  41300  sncldre  41310  reopn  41561  ioontr  41793  limciccioolb  41908  limcicciooub  41924  lptre2pt  41927  limclner  41938  limclr  41942  cncfiooicclem1  42182  fperdvper  42209  itgsubsticclem  42266  stoweidlem62  42354  dirkercncflem2  42396  dirkercncflem3  42397  dirkercncflem4  42398  fourierdlem42  42441  fourierdlem58  42456  fourierdlem73  42471  fouriercnp  42518  fouriercn  42524  cnfsmf  43024  incsmf  43026  decsmf  43050  smfpimbor1lem2  43081