MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniretop 22767
Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniretop ℝ = (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop
StepHypRef Expression
1 unirnioo 12466 . 2 ℝ = ran (,)
2 retopbas 22765 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
3 unitg 20973 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) = ran (,))
42, 3ax-mp 5 . 2 (topGen‘ran (,)) = ran (,)
51, 4eqtr4i 2785 1 ℝ = (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139   cuni 4588  ran crn 5267  cfv 6049  cr 10127  (,)cioo 12368  topGenctg 16300  TopBasesctb 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372  df-topgen 16306  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  retopon  22768  retps  22769  icccld  22771  icopnfcld  22772  iocmnfcld  22773  qdensere  22774  zcld  22817  iccntr  22825  icccmp  22829  retopconn  22833  opnreen  22835  rectbntr0  22836  cnmpt2pc  22928  evth  22959  evth2  22960  evthicc  23428  ovolicc2  23490  opnmbllem  23569  lhop  23978  dvcnvrelem2  23980  dvcnvre  23981  ftc1  24004  taylthlem2  24327  ipasslem8  28001  circtopn  30213  tpr2rico  30267  rrhf  30351  rrhqima  30367  rrhre  30374  brsigarn  30556  unibrsiga  30558  sxbrsigalem3  30643  dya2iocucvr  30655  sxbrsigalem1  30656  orrvcval4  30835  orrvcoel  30836  orrvccel  30837  retopsconn  31538  cvmliftlem10  31583  ivthALT  32636  ptrecube  33722  poimirlem29  33751  poimirlem30  33752  poimirlem31  33753  opnmbllem0  33758  mblfinlem1  33759  mblfinlem2  33760  mblfinlem3  33761  mblfinlem4  33762  ismblfin  33763  ftc1cnnc  33797  refsum2cnlem1  39695  sncldre  39707  reopn  40000  ioontr  40239  limciccioolb  40356  limcicciooub  40372  lptre2pt  40375  limclner  40386  limclr  40390  cncfiooicclem1  40609  fperdvper  40636  itgsubsticclem  40694  stoweidlem62  40782  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem3  40825  dirkercncflem4  40826  fourierdlem42  40869  fourierdlem58  40884  fourierdlem73  40899  fouriercnp  40946  fouriercn  40952  cnfsmf  41455  incsmf  41457  decsmf  41481  smfpimbor1lem2  41512
  Copyright terms: Public domain W3C validator