MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniretop 22471
Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniretop ℝ = (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop
StepHypRef Expression
1 unirnioo 12212 . 2 ℝ = ran (,)
2 retopbas 22469 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
3 unitg 20677 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) = ran (,))
42, 3ax-mp 5 . 2 (topGen‘ran (,)) = ran (,)
51, 4eqtr4i 2651 1 ℝ = (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1992   cuni 4407  ran crn 5080  cfv 5850  cr 9880  (,)cioo 12114  topGenctg 16014  TopBasesctb 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118  df-topgen 16020  df-bases 20617
This theorem is referenced by:  retopon  22472  retps  22473  icccld  22475  icopnfcld  22476  iocmnfcld  22477  qdensere  22478  zcld  22519  iccntr  22527  icccmp  22531  retopconn  22535  opnreen  22537  rectbntr0  22538  cnmpt2pc  22630  evth  22661  evth2  22662  evthicc  23130  ovolicc2  23192  opnmbllem  23270  lhop  23678  dvcnvrelem2  23680  dvcnvre  23681  ftc1  23704  taylthlem2  24027  ipasslem8  27532  circtopn  29678  tpr2rico  29732  rrhf  29816  rrhqima  29832  rrhre  29839  brsigarn  30020  unibrsiga  30022  sxbrsigalem3  30107  dya2iocucvr  30119  sxbrsigalem1  30120  orrvcval4  30299  orrvcoel  30300  orrvccel  30301  retopsconn  30931  cvmliftlem10  30976  ivthALT  31964  ptrecube  33027  poimirlem29  33056  poimirlem30  33057  poimirlem31  33058  opnmbllem0  33063  mblfinlem1  33064  mblfinlem2  33065  mblfinlem3  33066  mblfinlem4  33067  ismblfin  33068  ftc1cnnc  33102  refsum2cnlem1  38665  sncldre  38678  reopn  38952  ioontr  39134  limciccioolb  39244  limcicciooub  39260  lptre2pt  39263  limclner  39274  limclr  39278  cncfiooicclem1  39397  fperdvper  39426  itgsubsticclem  39485  stoweidlem62  39573  dirkercncflem2  39615  dirkercncflem3  39616  dirkercncflem4  39617  fourierdlem42  39660  fourierdlem58  39675  fourierdlem73  39690  fouriercnp  39737  fouriercn  39743  cnfsmf  40243  incsmf  40245  decsmf  40269  smfpimbor1lem2  40300
  Copyright terms: Public domain W3C validator