Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnbl 22446
 Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
unirnbl (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blf 22433 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2 frn 6214 . . . 4 ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
4 sspwuni 4763 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
53, 4sylib 208 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
6 1rp 12049 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
7 blcntr 22439 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
86, 7mp3an3 1562 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
9 rpxr 12053 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
106, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
11 blelrn 22443 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
1210, 11mp3an3 1562 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
13 elunii 4593 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
148, 12, 13syl2anc 696 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
1514ex 449 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 ran (ball‘𝐷)))
1615ssrdv 3750 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ran (ball‘𝐷))
175, 16eqssd 3761 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588   × cxp 5264  ran crn 5267  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  1c1 10149  ℝ*cxr 10285  ℝ+crp 12045  ∞Metcxmt 19953  ballcbl 19955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-rp 12046  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963 This theorem is referenced by:  blbas  22456  mopntopon  22465  elmopn  22468  imasf1oxms  22515  metss  22534
 Copyright terms: Public domain W3C validator