MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnbl 22135
Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
unirnbl (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blf 22122 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2 frn 6010 . . . 4 ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
4 sspwuni 4577 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
53, 4sylib 208 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
6 1rp 11780 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
7 blcntr 22128 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
86, 7mp3an3 1410 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
9 rpxr 11784 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
106, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
11 blelrn 22132 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
1210, 11mp3an3 1410 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
13 elunii 4407 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
148, 12, 13syl2anc 692 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
1514ex 450 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 ran (ball‘𝐷)))
1615ssrdv 3589 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ran (ball‘𝐷))
175, 16eqssd 3600 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   × cxp 5072  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881  *cxr 10017  +crp 11776  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-rp 11777  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  blbas  22145  mopntopon  22154  elmopn  22157  imasf1oxms  22204  metss  22223
  Copyright terms: Public domain W3C validator