MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnioo 12215
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 12190 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 12213 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6002 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 10040 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 10036 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 6762 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1421 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2695 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 4433 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 5 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 6010 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 4577 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 220 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3599 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   × cxp 5072  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  (class class class)co 6604  cr 9879  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017  (,)cioo 12117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121
This theorem is referenced by:  pnfnei  20934  mnfnei  20935  uniretop  22476  tgioo  22507  xrtgioo  22517  bndth  22665  relowlssretop  32843  relowlpssretop  32844  mblfinlem3  33080  mblfinlem4  33081  ismblfin  33082
  Copyright terms: Public domain W3C validator