MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitcl 19338
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitcl (𝑋𝑈𝑋𝐵)

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2818 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2818 . . . 4 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
4 eqid 2818 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2818 . . . 4 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
61, 2, 3, 4, 5isunit 19336 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
76simplbi 498 . 2 (𝑋𝑈𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅))
8 unitcl.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3dvdsrcl 19328 . 2 (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) → 𝑋𝐵)
107, 9syl 17 1 (𝑋𝑈𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  1rcur 19180  opprcoppr 19301  rcdsr 19317  Unitcui 19318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-dvdsr 19320  df-unit 19321
This theorem is referenced by:  unitss  19339  unitmulcl  19343  unitgrp  19346  ringinvcl  19355  unitnegcl  19360  unitdvcl  19366  dvrid  19367  dvrcan1  19370  dvrcan3  19371  dvreq1  19372  irredrmul  19386  isdrng2  19441  subrguss  19479  subrginv  19480  subrgunit  19482  unitrrg  19994  gzrngunitlem  20538  gzrngunit  20539  zringunit  20563  matinv  21214  cramerimp  21223  unitnmn0  23204  nminvr  23205  nrginvrcnlem  23227  ig1peu  24692  dchrelbas3  25741  dchrmulcl  25752  kerunit  30823  invginvrid  44343  lincresunit3lem3  44457  lincresunit3lem1  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator