Theorem unitcl 18431

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 18429	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 475	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 18421	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4578  ‘cfv 5790  Basecbs 15644  1_rcur 18273  opp_rcoppr 18394  ∥_rcdsr 18410  Unitcui 18411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-dvdsr 18413  df-unit 18414

This theorem is referenced by:  unitss  18432  unitmulcl  18436  unitgrp  18439  ringinvcl  18448  unitnegcl  18453  unitdvcl  18459  dvrid  18460  dvrcan1  18463  dvrcan3  18464  dvreq1  18465  irredrmul  18479  isdrng2  18529  subrguss  18567  subrginv  18568  subrgunit  18570  unitrrg  19063  gzrngunitlem  19579  gzrngunit  19580  zringunit  19606  matinv  20250  cramerimp  20259  unitnmn0  22230  nminvr  22231  nrginvrcnlem  22253  ig1peu  23680  dchrelbas3  24708  dchrmulcl  24719  kerunit  28948  invginvrid  41934  lincresunit3lem3  42049  lincresunit3lem1  42054