Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnegcl 18621
 Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnegcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 18492 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 unitnegcl.1 . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 18599 . . . . . 6 (𝑋𝑈𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6 unitnegcl.2 . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
73, 6grpinvcl 17407 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
82, 5, 7syl2an 494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
9 eqid 2621 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
103, 9, 6dvdsrneg 18594 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(𝑁‘(𝑁𝑋)))
118, 10syldan 487 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(𝑁‘(𝑁𝑋)))
123, 6grpinvinv 17422 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
132, 5, 12syl2an 494 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
1411, 13breqtrd 4649 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)𝑋)
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
17 eqid 2621 . . . . . 6 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
18 eqid 2621 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
194, 16, 9, 17, 18isunit 18597 . . . . 5 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2015, 19sylib 208 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2120simpld 475 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅))
223, 9dvdsrtr 18592 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋)(∥r𝑅)𝑋𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅))
231, 14, 21, 22syl3anc 1323 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅))
2417opprring 18571 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
2524adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (oppr𝑅) ∈ Ring)
2617, 3opprbas 18569 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
2717, 6opprneg 18575 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑅))
2826, 18, 27dvdsrneg 18594 . . . . 5 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(𝑁‘(𝑁𝑋)))
2925, 8, 28syl2anc 692 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(𝑁‘(𝑁𝑋)))
3029, 13breqtrd 4649 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋)
3120simprd 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3226, 18dvdsrtr 18592 . . 3 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1323 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
344, 16, 9, 17, 18isunit 18597 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
3523, 33, 34sylanbrc 697 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  Basecbs 15800  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  1rcur 18441  Ringcrg 18487  opprcoppr 18562  ∥rcdsr 18578  Unitcui 18579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582 This theorem is referenced by:  irredneg  18650  deg1invg  23804  nzrneg1ne0  41187  invginvrid  41466  lincresunit3lem3  41581  lincresunitlem1  41582
 Copyright terms: Public domain W3C validator