MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitrinv 18449
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2 𝐼 = (invr𝑅)
unitinvcl.3 · = (.r𝑅)
unitinvcl.4 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitrinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = 1 )

Proof of Theorem unitrinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2609 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrp 18438 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 18437 . . . 4 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5 fvex 6097 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ∈ V
61, 5eqeltri 2683 . . . . 5 𝑈 ∈ V
7 eqid 2609 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8 unitinvcl.3 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
97, 8mgpplusg 18264 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
102, 9ressplusg 15766 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
116, 10ax-mp 5 . . . 4 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12 eqid 2609 . . . 4 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13 unitinvcl.2 . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
141, 2, 13invrfval 18444 . . . 4 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
154, 11, 12, 14grprinv 17240 . . 3 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
163, 15sylan 486 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1r𝑅)
181, 2, 17unitgrpid 18440 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1918adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2016, 19eqtr4d 2646 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cfv 5789  (class class class)co 6526  s cress 15644  +gcplusg 15716  .rcmulr 15717  0gc0g 15871  Grpcgrp 17193  mulGrpcmgp 18260  1rcur 18272  Ringcrg 18318  Unitcui 18410  invrcinvr 18442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-0g 15873  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443
This theorem is referenced by:  1rinv  18450  0unit  18451  dvrid  18459  drnginvrr  18538  subrguss  18566  subrginv  18567  subrgunit  18569  matunit  20250  slesolinvbi  20253  nminvr  22230  nrginvrcnlem  22252  ply1divalg  23645  dchrn0  24719  dvrcan5  28917  invginvrid  41923
  Copyright terms: Public domain W3C validator