MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitsubm 18442
Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitsubm.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitsubm (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 unitsubm.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 18432 . . 3 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2609 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 51unit 18430 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
7 unitsubm.2 . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
87oveq1i 6537 . . . 4 (𝑀s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
92, 8unitgrp 18439 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀s 𝑈) ∈ Grp)
10 grpmnd 17201 . . 3 ((𝑀s 𝑈) ∈ Grp → (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)
119, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)
127ringmgp 18325 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
137, 1mgpbas 18267 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
147, 5ringidval 18275 . . . 4 (1r𝑅) = (0g𝑀)
15 eqid 2609 . . . 4 (𝑀s 𝑈) = (𝑀s 𝑈)
1613, 14, 15issubm2 17120 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)))
1712, 16syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)))
184, 6, 11, 17mpbir3and 1237 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  s cress 15645  Mndcmnd 17066  SubMndcsubmnd 17106  Grpcgrp 17194  mulGrpcmgp 18261  1rcur 18273  Ringcrg 18319  Unitcui 18411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414
This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  19697  nrgtdrg  22255  amgmlem  24461  dchrfi  24725  dchrghm  24726  dchrabs  24730  lgseisenlem3  24847  lgseisenlem4  24848  idomodle  36617  proot1ex  36622  amgmwlem  42340  amgmlemALT  42341
  Copyright terms: Public domain W3C validator