Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))

StepHypRef Expression
1 unopf1o 28903 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 f1ocnvfv2 6573 . . . . 5 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
31, 2sylan 487 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
433adant2 1100 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
54oveq2d 6706 . 2 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵))
6 f1ocnv 6187 . . . . . 6 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
7 f1of 6175 . . . . . 6 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
81, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
1093adant2 1100 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
11 unop 28902 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
1210, 11syld3an3 1411 . 2 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
135, 12eqtr3d 2687 1 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ◡ccnv 5142  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   ·ih csp 27907  UniOpcuo 27934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956  df-unop 28830 This theorem is referenced by:  unoplin  28907  unopadj2  28925
 Copyright terms: Public domain W3C validator