Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unsnen 9319
 Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
unsnen.1 𝐴 ∈ V
unsnen.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
unsnen 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen
StepHypRef Expression
1 disjsn 4216 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
2 cardon 8714 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ On
32onordi 5791 . . . . 5 Ord (card‘𝐴)
4 orddisj 5721 . . . . 5 (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6 unsnen.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76cardid 9313 . . . . . 6 (card‘𝐴) ≈ 𝐴
87ensymi 7950 . . . . 5 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9 unsnen.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
10 fvex 6158 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ V
11 en2sn 7981 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
129, 10, 11mp2an 707 . . . . 5 {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13 unen 7984 . . . . 5 (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
148, 12, 13mpanl12 717 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
155, 14mpan2 706 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
161, 15sylbir 225 . 2 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17 df-suc 5688 . 2 suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
1816, 17syl6breqr 4655 1 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554  ∅c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  Ord word 5681  suc csuc 5684  ‘cfv 5847   ≈ cen 7896  cardccrd 8705 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-card 8709  df-ac 8883 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator