Theorem unssbd 4167

Description: If (𝐴 ∪ 𝐵) is contained in 𝐶, so is 𝐵. One-way deduction form of unss 4163. Partial converse of unssd 4165. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
unssad.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
unssbd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unssbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
2		unss 4163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
3	1, 2	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	3	simprd 498	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-v 3499  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955

This theorem is referenced by:  eldifpw  7493  ertr  8307  finsschain  8834  r0weon  9441  ackbij1lem16  9660  wunfi  10146  wunex2  10163  hashf1lem2  13817  sumsplit  15126  fsum2dlem  15128  fsumabs  15159  fsumrlim  15169  fsumo1  15170  fsumiun  15179  fprod2dlem  15337  mreexexlem3d  16920  yonedalem1  17525  yonedalem21  17526  yonedalem3a  17527  yonedalem4c  17530  yonedalem22  17531  yonedalem3b  17532  yonedainv  17534  yonffthlem  17535  ablfac1eulem  19197  lsmsp  19861  lsppratlem3  19924  mplcoe1  20249  mdetunilem9  21232  filufint  22531  fmfnfmlem4  22568  hausflim  22592  fclsfnflim  22638  fsumcn  23481  itgfsum  24430  jensenlem1  25567  jensenlem2  25568  gsumvsca1  30858  gsumvsca2  30859  ordtconnlem1  31171  vhmcls  32817  mclsppslem  32834  rngunsnply  39779  brtrclfv2  40078