MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unxpdom2 8113
Description: Corollary of unxpdom 8112. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2
StepHypRef Expression
1 relsdom 7907 . . . . . . . 8 Rel ≺
21brrelex2i 5124 . . . . . . 7 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
32adantr 481 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4 1onn 7665 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
5 xpsneng 7990 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
63, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
76ensymd 7952 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}))
8 endom 7927 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
97, 8syl 17 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
10 simpr 477 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
11 0ex 4755 . . . . . 6 ∅ ∈ V
12 xpsneng 7990 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
133, 11, 12sylancl 693 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1413ensymd 7952 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15 domentr 7960 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
1610, 14, 15syl2anc 692 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17 1n0 7521 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
18 xpsndisj 5520 . . . 4 (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20 undom 7993 . . 3 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
219, 16, 19, 20syl21anc 1322 . 2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22 sdomentr 8039 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
237, 22syldan 487 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
24 sdomentr 8039 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
2514, 24syldan 487 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
26 unxpdom 8112 . . . 4 ((1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
2723, 25, 26syl2anc 692 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
28 xpen 8068 . . . 4 (((𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
296, 13, 28syl2anc 692 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30 domentr 7960 . . 3 ((((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3127, 29, 30syl2anc 692 . 2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32 domtr 7954 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3321, 31, 32syl2anc 692 1 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ωcom 7013  1𝑜c1o 7499  cen 7897  cdom 7898  csdm 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator