Theorem unxpdom2 8725

Description: Corollary of unxpdom 8724. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8515	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5608	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 8264	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		xpsneng 8601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 8559	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8		endom 8535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 5210	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 8601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 8559	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 8567	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 8118	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
18		xpsndisj 6019	. . . 4 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 8604	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 835	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 8650	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
23	7, 22	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24		sdomentr 8650	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 8724	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 8679	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 8567	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 8561	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 586	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934  ∅c0 4290  {csn 4566   class class class wbr 5065   × cxp 5552  ωcom 7579  1_oc1o 8094   ≈ cen 8505   ≼ cdom 8506   ≺ csdm 8507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511

This theorem is referenced by: (None)