Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upbdrech 38970
Description: Choice of an upper bound for a non empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
upbdrech.c 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
upbdrech (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upbdrech.c . . 3 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2 upbdrech.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 nfra1 2941 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5 nfv 1845 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7 rspa 2930 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
873adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
96, 8eqeltrd 2704 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
1093exp 1261 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ)))
114, 5, 10rexlimd 3024 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ))
1211abssdv 3660 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14 upbdrech.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
15 eqidd 2627 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 = 𝐵)
1615rgen 2922 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵
17 r19.2z 4037 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
1814, 16, 17sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
19 nfv 1845 . . . . . . 7 𝑥𝜑
20 nfre1 3004 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
2120nfex 2156 . . . . . . 7 𝑥𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
22 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 elex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 isset 3198 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
2624, 25sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27 rspe 3002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
2822, 26, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
29 rexcom4 3216 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3028, 29sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
31303adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
32313exp 1261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)))
3319, 21, 32rexlimd 3024 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
3418, 33mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
35 abn0 3933 . . . . 5 ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3634, 35sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37 upbdrech.bd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
38 vex 3194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
39 eqeq1 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
4039rexbidv 3050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵))
4138, 40elab 3338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4241biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4342adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
44 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
4519, 44nfan 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
4620nfsab 2618 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
4745, 46nfan 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
48 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑤𝑦
49 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50 simp1r 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
51 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
52 rspa 2930 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
5350, 51, 52syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
5449, 53eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤𝑦)
55543exp 1261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5747, 48, 56rexlimd 3024 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑦))
5843, 57mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤𝑦)
5958ralrimiva 2965 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
60593adant2 1078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
61603exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)))
6261reximdvai 3014 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦))
6337, 62mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
64 suprcl 10928 . . . 4 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6513, 36, 63, 64syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
661, 65syl5eqel 2708 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6713adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
6830, 35sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
6963adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
70 elabrexg 38675 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
7122, 2, 70syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
72 suprub 10929 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7367, 68, 69, 71, 72syl31anc 1326 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7473, 1syl6breqr 4660 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
7574ralrimiva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
7666, 75jca 554 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  {cab 2612  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  supcsup 8291  cr 9880   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  upbdrech2  38973
  Copyright terms: Public domain W3C validator