Theorem upgr1e 26199

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 26327. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
upgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		prex 5050	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
3	2	snid 4345	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
5	1, 4	fsnd 6332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6		upgr1e.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		upgr1e.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	6, 7	prssd 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9		upgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	syl6sseq 3784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
11	2	elpw 4300	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
12	10, 11	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13	12, 6	upgr1elem 26198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	5, 13	fssd 6210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16	15, 6	upgr1elem 26198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
17	5, 16	fssd 6210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
18		fdm 6204	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
20	19	feq2d 6184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
21	14, 20	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
22		upgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23	22	dmeqd 5473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
24	22, 23	feq12d 6186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
25	21, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
26	9	1vgrex 26073	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
27		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29	27, 28	isupgr 26170	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
30	6, 26, 29	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
31	25, 30	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332   ∖ cdif 3704   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  {cpr 4315  ⟨cop 4319   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041   ≤ cle 10259  2c2 11254  ♯chash 13303  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  UPGraphcupgr 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-upgr 26168

This theorem is referenced by:  upgr1eop  26201  upgr1eopALT  26203