MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1e 26199
Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 26327. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
upgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
upgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
upgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
upgr1e (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgr1e.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 prex 5050 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
32snid 4345 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
51, 4fsnd 6332 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6 upgr1e.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
7 upgr1e.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑉)
86, 7prssd 4491 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9 upgr1e.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
108, 9syl6sseq 3784 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
112elpw 4300 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1210, 11sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1312, 6upgr1elem 26198 . . . . 5 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
145, 13fssd 6210 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
152a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
1615, 6upgr1elem 26198 . . . . . . 7 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
175, 16fssd 6210 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
18 fdm 6204 . . . . . 6 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2019feq2d 6184 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
2114, 20mpbird 247 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
22 upgr1e.e . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
2322dmeqd 5473 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
2422, 23feq12d 6186 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
2521, 24mpbird 247 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
2691vgrex 26073 . . 3 (𝐵𝑉𝐺 ∈ V)
27 eqid 2752 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28 eqid 2752 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2927, 28isupgr 26170 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
306, 26, 293syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
3125, 30mpbird 247 1 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  {cpr 4315  cop 4319   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  cle 10259  2c2 11254  chash 13303  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  UPGraphcupgr 26166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-upgr 26168
This theorem is referenced by:  upgr1eop  26201  upgr1eopALT  26203
  Copyright terms: Public domain W3C validator