Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgr1elem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1elem 40359
Description: Lemma for upgr1e 40360 and uspgr1e 40492. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1elem.s (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
upgr1elem (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem
StepHypRef Expression
1 upgr1elem.s . . . 4 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
2 upgr1elem.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
3 prnzg 4253 . . . . 5 (𝐵𝑊 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
5 eldifsn 4259 . . . 4 ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
61, 4, 5sylanbrc 694 . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
7 hashprlei 13062 . . . . 5 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
87simpri 476 . . . 4 (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
10 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1110breq1d 4587 . . . 4 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
1211elrab 3330 . . 3 ({𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
136, 9, 12sylanbrc 694 . 2 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
1413snssd 4280 1 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  cdif 3536  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cfv 5790  Fincfn 7819  cle 9932  2c2 10920  #chash 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-hash 12938
This theorem is referenced by:  upgr1e  40360  uspgr1e  40492
  Copyright terms: Public domain W3C validator