Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgredgpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgredgpr 26082
 Description: If a proper pair (of vertices) is a subset of an edge in a pseudograph, the pair is the edge. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgredgpr (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Proof of Theorem upgredgpr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 26077 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
433adant3 1101 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
5 ssprsseq 4389 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
65biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
7 sseq2 3660 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏}))
8 eqeq2 2662 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} = 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
97, 8imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏})))
106, 9syl5ibr 236 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1110com23 86 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))))
1312rexlimivv 3065 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1413com12 32 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
15143ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
164, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))
1716imp 444 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  {cpr 4212  ‘cfv 5926  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  UPGraphcupgr 26020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-upgr 26022 This theorem is referenced by:  nbupgr  26285  nbumgrvtx  26287  upgriswlk  26593  upgrwlkupwlk  42046
 Copyright terms: Public domain W3C validator