Theorem upgredgpr 26929

Description: If a proper pair (of vertices) is a subset of an edge in a pseudograph, the pair is the edge. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgredgpr	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Proof of Theorem upgredgpr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 26924	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
4	3	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
5		ssprsseq 4760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
6	5	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
7		sseq2 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏}))
8		eqeq2 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} = 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏})))
10	6, 9	syl5ibr 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
11	10	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))))
13	12	rexlimivv 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
14	13	com12 32	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
15	14	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
16	4, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))
17	16	imp 409	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  {cpr 4571  ‘cfv 6357  Vtxcvtx 26783  Edgcedg 26834  UPGraphcupgr 26867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-edg 26835  df-upgr 26869

This theorem is referenced by:  nbupgr  27128  nbumgrvtx  27130  upgriswlk  27424  upgrwlkupwlk  44022