Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrfi 25967
 Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isupgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrfi ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi
StepHypRef Expression
1 isupgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isupgr.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgrle 25966 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
4 2re 11075 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 ltpnf 11939 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 2 < +∞
74rexri 10082 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10077 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
9 xrltnle 10090 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
107, 8, 9mp2an 707 . . . . 5 (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
116, 10mpbi 220 . . . 4 ¬ +∞ ≤ 2
12 fvex 6188 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
13 hashinf 13105 . . . . . 6 (((𝐸𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin) → (#‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1412, 13mpan 705 . . . . 5 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → (#‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1514breq1d 4654 . . . 4 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ((#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
1611, 15mtbiri 317 . . 3 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ¬ (#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
1716con4i 113 . 2 ((#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
183, 17syl 17 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644   Fn wfn 5871  ‘cfv 5876  Fincfn 7940  ℝcr 9920  +∞cpnf 10056  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  2c2 11055  #chash 13100  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856   UPGraph cupgr 25956 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-hash 13101  df-upgr 25958 This theorem is referenced by:  upgrex  25968
 Copyright terms: Public domain W3C validator