Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgriseupth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgriseupth 26927
 Description: The property "⟨𝐹, 𝑃⟩ is an Eulerian path on the pseudograph 𝐺". (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupths.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgriseupth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgriseupth (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Proof of Theorem upgriseupth
StepHypRef Expression
1 eupths.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21iseupthf1o 26922 . . 3 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)))
4 upgriseupth.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54, 1upgriswlk 26400 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
65anbi1d 740 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)))
7 simpr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
8 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
9 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
107, 8, 93jca 1240 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
11 f1of 6096 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
12 iswrdi 13243 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14133anim1i 1246 . . . . 5 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
15 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
1614, 15jca 554 . . . 4 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
1710, 16impbii 199 . . 3 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
1817a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
193, 6, 183bitrd 294 1 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  {cpr 4155   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ⟶wf 5846  –1-1-onto→wf1o 5849  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225  Vtxcvtx 25769  iEdgciedg 25770   UPGraph cupgr 25866  Walkscwlks 26356  EulerPathsceupth 26917 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-edg 25835  df-uhgr 25844  df-upgr 25868  df-wlks 26359  df-trls 26452  df-eupth 26918 This theorem is referenced by:  upgreupthi  26928
 Copyright terms: Public domain W3C validator