MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrpredgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrpredgv 26028
Description: An edge of a pseudograph always connects two vertices if the edge contains two sets. The two vertices/sets need not necessarily be different (loops are allowed). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrpredgv ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))

Proof of Theorem upgrpredgv
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 26026 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚𝑉𝑛𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
433adant2 1079 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚𝑉𝑛𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
5 preq12bg 4384 . . . . 5 (((𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚))))
653ad2antl2 1223 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚))))
7 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑉𝑀𝑉))
87eqcoms 2629 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑚 → (𝑚𝑉𝑀𝑉))
98biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑚 → (𝑚𝑉𝑀𝑉))
10 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑉𝑁𝑉))
1110eqcoms 2629 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑛 → (𝑛𝑉𝑁𝑉))
1211biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑛 → (𝑛𝑉𝑁𝑉))
139, 12im2anan9 880 . . . . . . 7 ((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1413com12 32 . . . . . 6 ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
15 eleq1 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛𝑉𝑀𝑉))
1615eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑛 → (𝑛𝑉𝑀𝑉))
1716biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑛 → (𝑛𝑉𝑀𝑉))
18 eleq1 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑉𝑁𝑉))
1918eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑚 → (𝑚𝑉𝑁𝑉))
2019biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑚 → (𝑚𝑉𝑁𝑉))
2117, 20im2anan9 880 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚) → ((𝑛𝑉𝑚𝑉) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((𝑛𝑉𝑚𝑉) → ((𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2322ancoms 469 . . . . . 6 ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ((𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2414, 23jaod 395 . . . . 5 ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → (((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚)) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2524adantl 482 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → (((𝑀 = 𝑚𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛𝑁 = 𝑚)) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
266, 25sylbid 230 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2726rexlimdvva 3036 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (∃𝑚𝑉𝑛𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
284, 27mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀𝑈𝑁𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  {cpr 4177  cfv 5886  Vtxcvtx 25868  Edgcedg 25933   UPGraph cupgr 25969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-hash 13113  df-edg 25934  df-upgr 25971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator