Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgrwlkdvspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrwlkdvspth 40940
Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. Formerly wlkdvspth 25904. Notice that this theorem would not hold for arbitrary hypergraphs, see the counterexample given in the comment of upgrspths1wlk 40939. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkdvspth ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgrwlkdvspth
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1052 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2 upgrspths1wlk 40939 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
323ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
43breqd 4588 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃))
5 wlkv 40810 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6 3simpc 1052 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
873ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9 breq12 4582 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃))
10 cnveq 5206 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
1110funeqd 5811 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (Fun 𝑝 ↔ Fun 𝑃))
1211adantl 480 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (Fun 𝑝 ↔ Fun 𝑃))
139, 12anbi12d 742 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝) ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
14 eqid 2609 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}
1513, 14brabga 4904 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
168, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
174, 16bitrd 266 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
181, 17mpbird 245 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  {copab 4636  ccnv 5027  Fun wfun 5784  cfv 5790   UPGraph cupgr 40301  1Walksc1wlks 40791  SPathScspths 40915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-uhgr 40275  df-upgr 40303  df-edga 40347  df-1wlks 40795  df-wlks 40796  df-trls 40896  df-spths 40919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator